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地球信息科学学报 >

2014 , Vol. 16 >Issue 5: 691 - 698

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2014.00691

特征约束六面体网格生成的改进栅格法

  • 庞宇 ,
  • 郭飞 , * ,
  • 李想 ,
  • 何梅芳
展开
  • 南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室,南京 210023
*通讯作者：郭 飞(1976-),男,副教授,研究方向为虚拟地理环境三维建模模拟与可视化。E-mail：

作者简介：庞 宇(1991-),男,硕士生,研究方向为三维GIS建模模拟。E-mail：

收稿日期: 2013-11-28

  要求修回日期: 2014-01-08

  网络出版日期: 2014-09-04

基金资助

城市软土地区工程沉降建模模拟研究(40801147)

收起

A Modified Grid-based Algorithm for Feature Constraints HexahedralMesh Generation

  • PANG Yu ,
  • GUO Fei , * ,
  • LI Xiang ,
  • HE Meifang
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  • Key Laboratory of Virtual Geographical Environment, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, China
*Corresponding author: GUO Fei, E-mail:

Received date: 2013-11-28

  Request revised date: 2014-01-08

  Online published: 2014-09-04

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《地球信息科学学报》编辑部 所有
Fold

摘要

目前,针对地学对象的非结构化六面体网格生成问题仍未得到很好的解决。为满足相关地学研究对六面体网格的需求,促进地学模拟及传统GIS空间分析的进一步发展,本文对传统栅格法进行扩展,提出了一种面向地学研究的六面体网格生成的改进栅格法。通过提取实体模型表面的几何特征,考虑内部孔、洞约束生成骨干网格,在此基础上构建一套特征约束模板来处理复杂的特征约束,使之既能保持地学研究对象的几何形态特征,又能实现加密区域与非加密区域的平滑过渡,从而满足地学分析与模拟的需求。

关键词： 特征约束模板; 地学分析; 六面体剖分; 改进栅格法

本文引用格式

庞宇 , 郭飞 , 李想 , 何梅芳 . 特征约束六面体网格生成的改进栅格法[J]. 地球信息科学学报, 2014 , 16(5) : 691 -698 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2014.00691

Abstract

Currently the method of geoscience mechanism and process simulation is using 2D or 3D finite element mesh to discretize geographical space, and then complete the calculation and simulation with relevant numerical calculation method. Therefore, the finite element mesh subdivision is the basis to carry out the learning mechanism and process simulation. Traditional grid-based hexahedron generating algorithm uses a standard orthometric grid to cover the entire research area, deletes the meshes that lie outside the area or are intersected at the boundaries, and then fills the space between the border and the grid area. As a result, the research area are fullfilled with regular meshes inside the area and irregular ones on the border. However, the geological research subjects are generally characterized by complex boundary and contain more spatial feature contraints. Meanwhile, geosciences analysis and computation require meshes of higher quaility. Therefore, the existing hexahedron generating algorithm can not generate meshes with preferable discretization for geological research subjects. The paper presents a modified grid-based hexahedron generating algorithm taking the advantages of the traditional grid-based algorithm for geosciences analysis, in order to meet the requirements of relevant geoscience researches for hexahedron mesh, and to promote further improvements to the geoscience simulation and the traditional GIS space analysis that are based on numerical methods. The algorithm generates the backbone grid by extracting the geometrical characteristics of the surface model, which takes the constraints such as internal pores and caves into consideration. At the same time, it builds some templates to handle the complex feature constraints, in order to keep the geometric shape of these feature constraints, and to achieve a smooth transition between the refined area of feature constraints and the unconstrained part. Then it uses mesh quality optimization algorithm to improve the mesh quality. In the end, it is proved practically by an example of the geographic model of Nanjing south railway station. The algorithm can produce high quality hexahedron meshes which not only keep the geometrical form of characteristic for the geoscience research objects, but also fullfill the requirements of geoscience analysis process simulation.

Key words： feature constraints; geosciences analysis; hexahedral mesh generation; modified grid-based algorithm

1 引言

有限元法是解决工程实际问题的一种数值计算工具[1]。有限元仿真的一个重要步骤是对连续体进行离散化,为确保有限元计算的结果在预定误差范围内,离散化后应得到质量较高的网格[2],由于六面体网格在计算精度、网格密度和抗畸变程度上具不同于其他网格的优点,因此,在有限元仿真领域中得到了广泛应用[3]。目前,六面体网格生成研究领域已经取得了许多成果,提出了众多不同的三维六面体网格剖分算法,其中,栅格法[4]六面体生成算法使用同一尺度的标准正则格网覆盖整个研究区域,删除区域外和区域边界相交的网格,再对边界与网格之间的空隙区域进行填充。与其他剖分算法相比,栅格法的应用与实体的几何形状无关,几何通用性较好,自动化程度高,特别是处理规则实体[5]时。与其他领域的规则实体对象不同,在地学领域中,地学研究对象普遍具有边界复杂、空间特征约束较多（点、线、面、体）的特点[6]。空间离散网格的质量直接影响到后续相关地学计算的精度与准确性,而传统栅格法生成的网格大小无法反映实体模型的几何特征,且模型较复杂时,生成的网格尤其是边界附近质量通常很差[7]。因此,开展适用于地学领域对象的高效六面体有限元网格生成方法研究十分必要。本文针对地学机理与过程模拟,以及GIS空间分析对六面体网格的需求,以传统的栅格法为基础,构建特征约束模板,提出了一套基于地学对象几何形态的改进栅格法,以生成既能满足实体内部几何特征及约束条件,又能满足地学分析与模拟需求的高质量六面体网格。

2 几何特征识别

本文针对传统栅格法生成的网格会导致几何特征缺失的缺点,考虑实体对象三维边界条件（内边界和外边界）与特征约束条件,基于特征约束和表面曲率生成加密信息场,构建约束处理模板和方案,提出基于模型表面曲率和特征约束的自适应六面体网格生成算法（图1）。
Fig.1 Detailed flow diagram of the algorithm

图1 本文算法详细流程图

2.1 网格剖分数据源的输入

地学对象通常具有复杂的几何形态,本文以地理实体外部模型和内部特征约束条件相结合的方式加以表达。在地学模拟上,常常使用离散的表面三角网来表示连续的地理实体,因此,本文使用三维表面模型来描述地理外部模型,采用一系列三角形面片来逼近实体表面,记录每一个三角单元的法向矢量和3个顶点坐标值,同时保留三角单元间的拓扑结构信息。在记录三角形信息的同时加入几何标识信息（Property属性）,在此基础上实现本文提出的六面体网格生成算法。
内部特征约束主要包括点约束（如特征点）、线约束（如冲蚀带、断层线）、面约束（如断层面）和体约束（如孔、洞）。点约束只需存储坐标,并标注Property属性。线约束使用离散的线段表示连续曲线,需要存储每一条线段端点的坐标和连接关系。面约束可以看作首尾相连的线,可以使用与线约束相同的方式存储,但要注明属性。体约束使用与外部模型相同的表面模型表示方式,但要在其Property属性中标记为内部边界。

2.2 几何特征提取

本文基于表面模型三角形面片单元的二面角来提取模型的几何特征,包括特征表面、特征边和特征点[8-9]。
特征表面（Feature Surface,FS）表示三角单元的共面关系,地学模型,以及特征约束的实际表面即为特征表面。特征表面的识别方法是分别计算某三角面片与其相邻的3个三角面片的二面角,若角度小于某一个阈值（一般设为20º）,则认为该相邻面片与此三角单元共面。遍历所有的三角单元,将所有共面的三角面片称作一个特征表面。本文将特征表面分为内特征面和外特征面,地学模型的表面即为外特征面,特征约束的表面（面约束和体约束的表面）为内特征面。
特征边（Feature Edge,FE）表示特征表面的边界,分析每一个特征表面中包含的所有三角形面片3条边的属性,若某一条边没有被当前特征表面中的其他三角面片所共享,则为特征边,否则为普通边。除此之外,特征约束中的线约束上的边都为特征边。将特征边分为内特征边和外特征边,分布于地学模型特征表面上的特征边为外特征边,特征约束的特征边（线约束中的所有线段、面约束和体约束的特征边）为内特征边。
特征点（Feature Vertex,FV）表示特征边的端点,遍历所有特征边,被3条或3条以上的特征边所共享的节点即为特征点,否则称为内部节点。此外,特征约束中的点约束都标记为特征点。

2.3 基于曲率加密源点信息场的构建

地学实体通常几何特征较为复杂,为精确表达几何特征,通常选用曲率信息作为加密准则[10]。本文使用的三角单元表面模型中,每个三角单元3条边的长度与其所在位置的最大曲率有着直接关系,因此,采用表面三角单元的数据信息,来生成加密源点信息场,作为控制网格单元尺寸的判断依 据[9]。在建立加密信息场之前,需要先计算三角面片每一个顶点的曲率值大小,可选择平均曲率（(k1+k2)/2）或高斯曲率（k1 × k2）。判断曲率值是否在曲率阈值范围以内,若大于阈值,则在该顶点处建立加密源点。如果当前三角形有2个或2个以上的顶点曲率大于阈值,并且加密源点连成的边不是普通边,则需要在此边上建立加密源点,加密源点的个数由式（1）计算：
N = L curEdge / L min （1）
式（1）中,LcurEdge为当前加密的边长;Lmin为所属三角形最短边的长度。最后,在边LcurEdge上的N等分点处建立加密源点。遍历所有的三角面片,同时将在所有的特征点（FV）上建立加密源点,所有的加密源点共同构成该实体基于曲率的加密源点信息场。
考虑到地学模型普遍具有特征约束较多的特点,需要对特征约束处建立加密源点以使用加密模板进行加密。提取所有的特征约束线和约束面的端点,作为新的约束点加入特征约束点点集,在这些约束点上建立新的加密源点,与原有的加密源点一起构成加密信息场。

3 初始网格生成

本文首先提取表面模型的最大包围盒子,在此基础上根据三维表面模型的几何特征和曲率建立加密源点,使用传统加密模板对六面体包围盒子进行逐层加密。删除落在模型外部的六面体单元,将骨干网格的表面拟合到实体模型的表面上,由内而外地生成符合地理模型表面轮廓的初始全六面体网格,方便下一步的特征约束处理。

3.1 过渡性加密模板的构建

在实体的某些区域由于曲率较大,故网格应该较密,反之曲率较小的部分网格较为稀疏,在网格密度较大和较小的部分之间需要进行过渡性平滑处理。为保证加密单元和非加密单元的拓扑相容和平滑过渡,本文参考Schneiders[11]提出的传统二十七分法的加密模板,在此基础上进行过渡性加密,如图2所示。
根据加密场中各个加密单元的属性,识别需要全加密的六面体单元,并将这些六面体的8个顶点标注为待加密节点,然后根据加密节点的传递性判断需要使用哪一种加密模板[12]。若一个单元只有某一个面上的节点为加密节点,则使用图2（c）所示的面加密模板进行加密。这套加密模板的优点是简明直观,效率较高,不需要进行复杂的匹配运算。需要注意的是,若单元的加密节点分布与上述5种加密模板不同,则需要调整初始加密场[13];若有些待加密单元因为没有相应的模板而匹配成全加密或面加密,则需要把其剩下的节点都标记为亚加密节点。

3.2 特征约束骨干网格生成

遍历模型所有的点坐标,得到实体的最大最小尺寸,生成包络实体模型的长方体盒子,对其使用图2（b）的模板进行全加密。对生成的每一个六面体单元,根据其内部含有的加密源点个数判断该单元是否需要加密,若某一个六面体单元包含两个或两个以上的加密源点,则将其标记为待加密单元。同时,若一个单元包含有约束点,且与其共面或共点的周围26个单元中至少有一个也包含约束点,则将其也标记为待加密单元。遍历所有的六面体,若需要加密的六面体个数大于总数的80%,则对所有单元进行全加密,否则使用图2中的相容性加密模板进行自适应过渡加密。循环遍历,直到不出现待加密单元为止。
Fig.2 27-refinement based density control templates

图2 二十七分法相容性加密模板

根据奇偶性质判别法,对六面体单元的每一个顶点,向3个正交方向做射线,判断每一条射线与三维实体表面交点的个数。如果3个方向的交点个数都为奇数,则说明该点在实体内部;如果3个方向有一个为偶数,则说明该点在外部。用这种方法对所有初始网格的8个顶点进行判定,只要有一个顶点落在实体外部,则认为这个网格位于实体外。将所有落在实体外部的网格删去,则获得实体的“锯齿”形骨干网格。
由于本文的六面体网格生成算法考虑到洞的约束,且洞约束以表面网格的形式表达,因此,在处理地理模型时,先做如下判断：判断单元的8个节点是否被包含在洞约束内,如果有节点被包含在洞约束内,则该节点被认为不属于实体范围,直接剔除,不用通过奇偶性准则进行判断;如果8个节点均未被洞约束包含,则认为该单元不在洞约束内,需要判断射线交点的奇偶性。

3.3 表面拟合

锯齿状骨干网格生成后,六面体与实体表面之间仍存在一个单元厚度的空隙。为了填补这层空隙,实现与实体模型的高精度拟合,需要对六面体网格进行表面拟合生成一层边界网格。表面拟合的过程如下：
（1）利用拓扑关系判断识别出骨干网格的外表面面片,组成表面面SF。
（2）计算每一个表面面SF的节点的法向量,某点法向量为SF上共享该节点的四边形面片法向量的平均值,公式为：
N i = 1 n ∑ j = 1 n N F j （2）
式（2）中,Ni表示第i个共享节点的法向量;表示共享该节点的四边形的个数;NFj表示第N个共享节点第j个四边形的法向量。
（3）按照每一个节点的法向量,对距离最近的地理模型表面求交,求得其映射在表面上的对应节点。
（4）连接SF上四边形的4个节点,以及对应的4个新的节点,即构成新的六面体单元。
经过表面拟合得到的初始六面体网格,其表面节点能够全部落在地理模型的外表面上。经过表面拟合的初始六面体网格,虽然能够较好地模拟地理对象的外表面,但在模型内部仍然存在大量的特征约束需要进一步处理。

4 特征约束处理

地学对象具有边界复杂、特征约束较多的特点特征约束条件（点、线、面、体）随机分布,可能会过分贴近现有六面体网格,如果对这些特征约束直接使用本文的约束处理方案处理,可能会形成过渡不均、薄片或狭长单元等质量较低的单元。因此,本文对初始六面体单元设置距离阈值,对小于该阈值的特征约束进行吸附处理,再采用相应的加密模板生成网格。

4.1 点约束处理方案

经过表面拟合的初始网格已经基本满足有限元计算和分析的需求,且一个单元最多包含一个点约束。若对包含约束点的网格单元使用传统加密模板会分解成27个子单元,造成密集区域到稀疏区域的网格加密过度,在进行有限元差值计算时增加数值计算误差。因此,本文基于传统的八分法加密模板[14-15],提出了一套应用于点约束的改进加密模板,用于处理特征约束点的加密（图3）。
若约束点位于六面体的边界上,则使用图3（d）点加密模板进行加密。若特征约束点位于某六面体单元内部,则使用图3（a）所示的全加密模板进行加密,同时传递已加密单元的加密节点信息场,在其周围使用图3中的加密模板,实现加密单元与未加密单元的平滑过渡处理。加密的过程为：
（1）对包含约束点的六面体网格,将其标记为全加密,使用图3（a）所示的全加密模板进行加密处理。同时,补充与该单元相邻的所有单元为全加密单元,进行全加密处理,将这些全加密单元的所有节点都标记为加密节点,构建初始加密信息场。加密之后的六面体单元被分割成8个小六面体,且这8个六面体共享的顶点即为特征约束点。
（2）根据初始加密单元调整加密信息场,使周围的待加密单元都能满足图3中的某一种加密模板所对应的加密单元属性。
（3）对所有待加密单元依次进行全加密、面加密、点加密和边加密。将已经加密单元中的不是加密节点的顶点标记为亚加密节点。
（4）根据亚加密节点的属性,匹配到图3中的加密模板,进行亚加密,直到能与零加密单元之间进行平滑过渡。
Fig. 3 Density control templates for feature constraint points

图3 特征约束点加密模板

图4为一次特征约束点的处理过程。图4（a）表示一个包含有特征约束点的六面体网格区域,其中一个单元内部含有一个约束点,且该点并不位于该单元的几何中心。首先,对包含有约束点的单元和其周围的所有单元使用图3（a）所示的全加密模板进行全加密,处理之后的结果如图4（b）所示。图4（c）表示按照初始加密信息场调整后相匹配的加密单元,图4（d）表示处理完的最终网格。比较图4（a）和图4（b）可以发现,该模板能够实现特征约束点位置的局部加密,并使加密区域与非加密区域之间能够实现较好的平滑过渡,不会出现过渡不均衡的情况,能够满足有限元分析和数值计算的要求。
Fig.4 Example of the density control templates for feature constraint points

图4 应用特征约束点加密模板处理约束点的步骤示意图

4.2 线约束处理方案

对于线约束,由前文几何特征提取可知,取其中每一条线段的端点作为特征点,先使用前述约束点的处理方法进行处理。对于约束线段本身,依照其与六面体单元的拓扑关系,可分为15种情况,分别按照表1所列处理方法,使其转化为全六面体网格结构。
Tab.1 Density control templates for feature constraint lines

表1 特征约束线处理模板

序号 穿过六面体单元的两个顶点 序号 穿过六面体单元的两条边
1 不处理 9 模板4
2 10 模板5
3 11 模板5
穿过六面体单元的一个顶点和一条边 穿过六面体单元的一条边和一个面
4 模板1 12 模板6
5 模板2 13 模板8
穿过六面体单元的一个顶点和一个面 穿过六面体单元的两个表面
6 模板1 14 模板3
穿过六面体单元的两条棱边
7 模板2 15 模板1
8 模板1
表1中给出了每一种模板,以及其处理方案,从中可知,对于线与六面体单元相交的若干情况,均通过切割或移动棱边的方式转化为前3种模板,最后分解成全六面体网格结构。这套约束线处理模板,既可以处理特征约束线与六面体单元复杂的拓扑情形,又可以保持单元之间的平滑过渡。

4.3 面约束处理方案

对于约束面本身,由于面可以看作是厚度为0的体,因此,本文约束面的数据源是基于表面三角网模型进行构建的。从前文可知,特征约束面在几何特征提取中被当作特征表面处理,提取特征约束面的外围边界为特征边,外围点集为特征点,在此基础上,对面约束进行处理,主要分为以下几个步骤：
（1）对面约束上的特征点采用4.1节点约束处理方案进行处理;
（2）对面约束上的特征边采用4.2节线约束处理方案进行处理;
（3）对于约束面本身,对六面体网格根据拓扑关系识别出与约束面相交的单元,称作骑面单元。删除所有骑面单元,这样网格与约束面之间就形成了一个单元的空隙。将与骑面单元相邻的非骑面单元对约束面进行表面拟合,拟合出特征约束面。

4.4 体约束处理方案

体约束即内部边界,主要是指模型内部的孔、洞等约束。本文体约束与地学表面对象都采用表面三角网的表示方式,在提取表面模型的几何特征,采用考虑特征约束的改进栅格法时,不仅提取模型本身的加密信息场,也生成内部体约束的加密信息,鉴此生成基于曲率调整的六面体网格。本文在骨干网格的生成中考虑了体约束的处理方法,在实现表面拟合时,体约束附近的表面面（SF）对体约束的特征表面进行拟合,已经完成了内部边界的约束。
使用上述约束处理方式生成的六面体网格,不仅能够逼近模型轮廓,而且处理了地理实体内部大量的特征约束,能够较好地拟合实体模型,但是,在局部地区的网格质量可能比较差,网格不够平滑,需要进一步的网格质量优化才能够满足模型模拟以及数值计算的要求。

5 网格质量的优化与实例分析

经过上述处理之后生成的六面体网格,虽然已经能够较为精确地表达实体的几何特征,但有一些形状不好的网格存在,尤其是当地质模型约束较多特征复杂时。这些网格大多在边界和特征约束附近,这些质量较差的单元会直接影响有限元计算的精度和效率,甚至导致计算发散。为提高网格质量,需要对表面拟合之后的网格进行质量优化[16-17]。本文使用文献[18]提出的网格优化方法,主要包括拓扑关系优化和几何形状优化。拓扑关系优化主要通过改变节点的拓扑关系来提高网格质量;几何形状优化主要通过调整节点的位置来提高网格质量,它不会改变单元之间的拓扑关系。在网格质量优化时通常将2个方面结合应用。
为验证本文六面体生成算法对地学模型剖分的有效性,以南京南站地质模型为例进行验证。南京南站的三维地质模型（图5）,该地质模型中共有3326个顶点,6648个三角面片,使用视觉化工具函式库VTK进行可视化显示。从图5可见,该模型内部包含孔、洞和面等约束。
图6为经过本文描述的算法生成的六面体网格结果,共有120 136个节点和601 322个六面体单元。图6（b）为六面体网格约束附近的剖面图。
Fig.5 Geographic model of Nanjing south railway station

图5 南京南站地质模型图

Fig.6 Hexahedral mesh of Nanjing south railway station

图6 南京南站六面体网格结果示意

针对该六面体结果,本文采用单位化雅克比行列式值和雅克比条件数作为六面体网格的质量评价标准[19-20],对最终生成的结果网格分别计算评价指标,如图7所示。其中雅克比行列式的值其值域为[-1,1],当其值处于0.5-1之间时,表示六面体单元质量较好。雅克比矩阵条件数的值域为[+1,+∞),为确保数值模拟的精度要求,其值应该保持在1-8之间。从图7可知,本文算法生成的六面体网格,其雅克比行列式的值多数位于0.5-1之间,且近90%的单元其雅克比矩阵条件数都在1-4之间,这两个统计结果都验证了本文生成的六面体网格质量较好。这样的精度能够较好地满足数值计算的要求,可用于地学分析和计算。
Fig.7 Evaluation criterion of mesh quality

图7 网格质量评价标准

6 结论

本文结合地学对象具有边界复杂、空间特征约束较多的特点,针对普通的六面体有限元网格剖分技术无法满足地学有限元计算的要求,在充分了解传统栅格法六面体生成方法的基础上,使用地学表面三维模型和内部特征约束作为数据源,提取地学模型的特征点、特征线和特征表面等几何形态特征,并基于曲率生成加密源点信息场,表面拟合生成与实体轮廓大致相同的初始六面体网格。最后,对栅格法进行扩展,提出一套行之有效的特征约束处理模板,构建了几何形态约束的六面体生成算法。经过实例的验证表明,本文提出的六面体生成算法既解决了传统栅格法对网格大小无法反映实体的几何特征的不足,又有效地对地学特征进行约束处理,能产生高质量、全自动、顾及几何特征的六面体网格。

The authors have declared that no competing interests exist.

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