EN中文

地球信息科学学报 >

2023 , Vol. 25 >Issue 12: 2418 - 2426

DOI: https://doi.org/10.12082/dqxxkx.2023.230368

2023年全国博士生学术论坛（测绘科学与技术）会议优秀论文

简单曲线无量纲形状相似度计算方法

  • 闫浩文 , 1, 2, 3, * ,
  • 杨维芳 1, 2, 3 ,
  • 禄小敏 1, 2, 3 ,
  • 诸天舒 1, 2, 3 ,
  • 马犇 1 ,
  • 殷硕硕 1
展开
  • 1.兰州交通大学测绘与地理信息学院，兰州 730070
  • 2.地理国情监测技术应用国家地方联合工程研究中心，兰州 730070
  • 3.甘肃省地理国情监测工程实验室，兰州 730070

闫浩文（1969—），男，甘肃民勤人，博士，教授，博士生导师，研究方向为地图自动综合、空间分析等。E-mail:

收稿日期: 2023-07-03

  修回日期: 2023-07-25

  网络出版日期: 2023-12-05

基金资助

国家自然科学基金项目(41930101)

收起

Calculation of Nondimensional Shape Similarity between Simple Curves

  • YAN Haowen , 1, 2, 3, * ,
  • YANG Weifang 1, 2, 3 ,
  • LU Xiaomin 1, 2, 3 ,
  • ZHU Tianshu 1, 2, 3 ,
  • MA Ben 1 ,
  • YIN Shuoshuo 1
Expand
  • 1. Faculty of Geomatics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China
  • 2. National-local Joint Engineering Research Center of Technologies and Applications for National Geographic State Monitoring, Lanzhou 730070, China
  • 3. Gansu Provincial Engineering Laboratory for National Geographic State Monitoring, Lanzhou 730070, China
*YAN Haowen, E-mail:

Received date: 2023-07-03

  Revised date: 2023-07-25

  Online published: 2023-12-05

Supported by

National Natural Science Foundation of China(41930101)

Fold

摘要

曲线图形形状相似度的计算是地图学、图形学、几何学中的基础性理论问题之一，虽然目前有机器学习的方法可以计算曲线形状相似度，但这种方法往往依赖于大样本曲线对，其效率并不高。为了解决这一问题，本文提出了一种直接计算曲线形状相似度的方法。原理如下：① 对2条曲线进行位移、旋转和比例变换，找出能够使两条曲线叠置在一起后重合程度最大或平均距离最小的位置； ② 根据曲线的顶点和交集，将两条曲线划分为不同的子区域。然后，根据Gestalt心理学的邻近性原理，在每个子区域内计算图形的形状相似度； ③ 将各个子区域内图形的形状相似度进行加权求和，得到2个简单曲线目标的形状相似度。通过心理学实验研究，验证了本文提出的方法计算得到的形状相似度与人们的空间认知相符，具有一定的适用场景。该方法不仅可以直接计算曲线形状的相似度，而且避免了对大样本曲线对的依赖，提高了计算效率。因此，该方法在地图学、图形学和几何学等领域具有一定的应用前景。

关键词： 曲线; 形状相似度; 旋转; 缩放; 心理学实验; 计算; 几何学

本文引用格式

闫浩文 , 杨维芳 , 禄小敏 , 诸天舒 , 马犇 , 殷硕硕 . 简单曲线无量纲形状相似度计算方法[J]. 地球信息科学学报, 2023 , 25(12) : 2418 -2426 . DOI: 10.12082/dqxxkx.2023.230368

Abstract

Calculation of shape similarity between curves is one of the most fundamental and theoretical problems in cartography, graphics, and geometry. Although existing machine learning methods can be used to calculate curve shape similarity, they often rely on extensive sets of sample curves, leading to a low efficiency. To address this issue, this paper proposes a method for directly calculating shape similarity between simple curves. First, two curves are moved, rotated, and scaled to obtain the optimal position where the mean distance between the two curves is the least. Second, the two curves are divided into a number of subsections based on their intersections of the curves. Third, the shape similarity within each subsection (i.e., two sub-curves) is calculated by the principle of proximity in Gestalt. Finally, the shape similarity of the two curves can be obtained by calculating the weighted shape similarity of all subsections. The proposed method is validated through the psychological experiments, and the results show that the calculated shape similarity aligns with human spatial cognition, indicating its practical applicability in specific scenarios. Moreover, the proposed method not only directly calculates curve shape similarity but also eliminates the reliance on a large number of curve samples, resulting in increased computational efficiency. The method presented in this paper provides a more efficient and direct tool for calculating curve shape similarity and holds promise for applications in various fields such as cartography, graphics, and geometry.

Key words： curve; shape similarity; rotation; scaling; psychological experiments; calculation; geometry

1 引言

曲线的形状相似计算是地图学[1]、图形学[2]、计算机辅助设计与制造[3]、几何学[4]等的基本理论问题，在曲线目标的描述、推理、匹配、查询和多尺度表达等方面应用广泛[5⇓⇓-8]。曲线形状的相似通常有定性与定量2种描述方式[9]。定性的描述（如“两条曲线形状非常相似”）易于理解，但不精确，不易应用于图形的计算和精细表达。相反，定量的描述（如“两条曲线的相似度为80%”）精确度高，方便应用于计算和表达，但不直观[10-11]。
曲线形状的定量描述可以用带量纲的数值，也可用无量纲的数值。如用欧氏距离来描述曲线形状的相似性属于前者，2条曲线之间的欧氏距离越大，表示其形状相似性越小；后者则多用一个[0,1]区间的值来表示2个目标的相似程度，该值越大，表示2个目标越相似[12]。
简单曲线是指由一条首尾不相连、任何部分不自相交的曲线（或折线）。图1示例说明了简单曲线和复杂曲线的区别。本研究专注于简单曲线目标的形状相似度计算，该问题是计算复杂曲线目标之间形状相似度的基础，也是模式识别[13]、地图学与地理信息学[14-15]、几何学等领域长期关注的课题，已有许多研究成果[16⇓⇓-19]。常见的方法有Fréchet距离、Hausdorff距离、动态时间规整（Dynamic Time Warping，DTW）、斜率距离、最长公共子序列法（Longest Comment Sub-Sequence， LCSS）等。Fréchet距离或曰狗绳距离[20]用于路径曲线相似性的度量，它对两条曲线路径各自遍历，对另一条曲线求距离最大值，然后找出这些最大值中的最小值即为Fréchet距离。用于度量2个点集之间距离关系的Hausdorff距离[21]也经常被用于描述曲线之间的形状相似，其做法是先用两条曲线各自遍历对另一条曲线求出距离最小值，然后再找出2个距离最小值中的最大者，即为2条曲线的Hausdorff距离[22]。DTW通过把时间序列（每个时间序列可以理解为一条曲线）进行延伸和缩短，来计算2个时间序列性之间的相似性，其本质是将两个曲线对齐来计算曲线的形状相似度。斜率距离[23]依据两条曲线各折线段的斜率把曲线划分、对齐，按照时间加权来计算得到的曲线之间的距离。LCSS[24]最早被用于处理字符串的相似性，其后被改进用于度量曲线轨迹的形状相似。这些度量曲线相似性的方法还各有多种改进型[25-26]，整体思想类似，不再赘述。以上方法计算得到的是曲线形状的差异度，且结果是带量纲的。也有学者提出运用机器学习来间接计算曲线对的相似度的方法[27]，虽然计算结果可靠且无量纲，但其需要借助于大样本的曲线对数据，影响了算法的整体效率。
图1 简单曲线目标与复杂曲线目标示意

注:图(a)和图(b)为简单曲线目标，图(c)和图(d)为复杂曲线目标。

Fig. 1 Schematic diagram of simple curve objects and complex curve objects

为此，本文将专注于提出一个直接计算二维空间任意2个简单线状目标的无量纲形状相似度的方法，目标是由该方法计算得到的形状相似度的大小，不会受到这2个简单曲线目标的位移、旋转、比例变换的影响。

2 问题描述与分析

2.1 问题描述

本文要解决的问题可以描述为：二维空间有 2个简单曲线目标 A、 B， A由坐标点 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ),…, ( x n , y n )顺次连接的折线组成， B由坐标点 ( X 1 , Y 1 ), ( X 2 , Y 2 ),…, ( X m , Y m )顺次连接的折线组成。其中， n、 m均为正整数，且 n ∈ [ 1 , ∞ )， m ∈ [ 1 , ∞ )。要求计算得到 A、 B的无量纲几何形状相似度 S i m A , B ∈ [ 0,1 ]。

2.2 问题分析

对描述的问题进行分析可知，就几何形状而言， A、 B存在如下3种情形：
（1）当 n = m = 1时， A、 B均由简单曲线目标退化为点状目标，如图2（a），这属于问题的极端情况。因为此时2个目标的几何形状完全相同，所以 S i m A , B = 1。
图2 曲线目标对的3种形式

Fig. 2 Three types of curve object pairs

（2）当 n = 1但 m > 1，或 m = 1但 n > 1时， A、 B中的一个退化为点状目标，另一个仍然是简单曲线目标，如图2（b）。此时2个目标的几何形状差异最大，所以 S i m A , B = 0。
（3）当 m > 1且 n > 1时， A、 B均为简单曲线目标，如图2（c）所示。
对第（3）种情形而言，人们判断任意两条曲线的形状相似程度时，一般首先对曲线进行位移、旋转、比例变换，把2条曲线叠置在一起，找出其重合程度或平均距离最小的位置，然后计算该位置下2条曲线的相似度，得到的结果即为这2条曲线的形状相似度。图3用2个例子来说明人们判断曲线目标形状相似的思维方式和过程，这也是本文设计简单曲线目标形状相似度计算方法的基础。
图3 曲线目标对的最小距离叠置

Fig. 3 Minimum distance overlay of curve object pairs

3 曲线形状相似度的计算方法

2 个简单曲线目标的形状相似度计算分2个 过程：① 寻找2个曲线目标的最小距离叠置位置；② 计算曲线的形状相似度。

3.1 寻找曲线对的最小距离叠置位置

现实中，2个曲线目标的最小距离还是人们视觉感知中的概念，尚无严格的数学定义。按照人们的思维习惯，要寻找2个曲线目标的最小距离叠置位置的过程可以描述为：保持其中一个目标不动，把另一个目标进行平移、旋转、比例变换，使2个目标尽量距离相近。因此，提出一个运用曲线拟合来寻找2个线状目标 A、 B的近似最小距离叠置位置的方法，过程如下，示例见图4。
图4 曲线对最小距离叠置位置的计算过程

Fig. 4 The method for finding the minimum distance overlap position for the curve pair

（1）以 A上的所有顶点为点集，拟合出一条直线，设为 L A :   y = k x + c；同样，以 B上的所有顶点为点集，拟合出一条直线，设为 L B :   Y = K Y + C。
（2）把 y = k x + c与 A同时旋转到水平位置 y = c，求出旋转后 A的MBR（Minimum Bounding Rectangle），进而求得 y = c与该MBR的2个交点 P A 1 :   ( x r 1 , y r 1 )、 P A 2 :   ( x r 2 , y r 2 )。对 B进行相同的操作，得到2个交点 P B 1 :   ( x R 1 , y R 1 )、 P B 2 :   ( x R 2 , y R 2 )。
（3）保持 A不动，对 B在纵轴、横轴方向均按照 P B 1 P B 2 P A 1 P A 2进行比例变换， P B 1、 P B 2变换后分别记为 P B 1 '、 P B 2 '。经过比例变换后， P A 1 P A 2 = P B 1 ' P B 2 '。这里， P A 1 P A 2是线段 P A 1 P A 2的长度，其余类同。
（4） A与 B的最小距离叠置有如下4种可能：
① 把 B与 P B 1 ' P B 2 '看作一个整体，对其平移，使 P B 1 ' P B 2 '与 P A 1 P A 2完全重合，把 B叠置在 A上，如图4（e）所示；
② 把 B与 P B 1 ' P B 2 '看作一个整体，顺时针绕坐标纵轴在平面内旋转 180 °，然后对其平移，使 P B 2 ' P B 1 '与 P A 1 P A 2完全重合，把 B叠置在 A上，如 图4（f）所示；
③ 把 B与 P B 1 ' P B 2 '看作整体，在水平面内旋转 180 o至其镜像的位置，然后对其平移，使 P B 2 ' P B 1 '与 P A 1 P A 2完全重合，把 B叠置在 A上，如图4（g）所示；
④ 把（3）中得到的 B与 P B 1 ' P B 2 '的镜像整体顺时针绕坐标纵轴在平面内旋转 180 o，然后对其平移，使 P B 1 ' P B 2 '与 P A 1 P A 2完全重合，把 B叠置在 A上，如图4（h）所示。
以上4种最小距离叠置位置均作为计算这2条曲线目标形状相似度的候选。

3.2 计算曲线对的形状相似度方法

根据Gestalt心理学的邻近性原理，人们在判断图形形状是否相似时，容易把2个图形位置相近的部分放在一起进行对比。由此，设计如下算法来计算2个简单曲线目标的形状相似度。不失一般性，以上面得到的4种最小距离叠置位置中的一种（图4（e））为例对算法进行描述。
（1）求 A、 B的交集。它们的交集可能是点的集合，可能是线段的集合，也可能是点与线段的集合。如图5所示， A、 B的交集为点 Q 1与点 Q 2。
图5 曲线目标对的分割与空间邻近关系

注: A、B表示简单曲线对，PA1、PA2等表示曲线A的顶点，P'B1、P'B2等表示曲线B的顶点，L1、L2等表示通过顶点或交点与水平线垂直的垂线段，M1、M2等表示A、B同垂线的交点。。

Fig. 5 The segmentation and spatial proximity relations of curve object pairs

（2）把 A、 B的顶点及其交点、交线按照横坐标的升序排列，然后依次从其中的每个点向 A、 B下方的一条水平线作垂线，这些垂线把 A、 B分成若干线段或折线。每两条相邻垂线构成了一个平面区域，位于每个区域中的 A上的线段或折线被认为与位于该区域的 B上的线段或折线具有空间邻近关系。
图5中， A、 B被垂线 L 1, L 2,… ,   L 10分割成9个平面区域。位于 L 1、 L 2之间的区域内的线段 P B 1 ' Q 1与 P A 1 Q 1具有空间邻近关系；同样，位于 L 5、 L 6之间的区域内的折线 M 3 P A 4 P A 5 M 5与线段 M 4 M 6具有空间邻近关系。
（3）求 A、 B的形状相似度。思路是：首先按照Gestalt心理学的邻近性原理，计算每个区域内 A、 B的子图形的形状相似度，然后把各个区域内子图形的形状相似性加权，计算得到2个简单曲线目标的形状相似度
S i m A , B = ∑ i = 1 k W i S i m ( A i , B i )
W i = L A i + L B i L A + L B
式中： k是区域的数目； A i、 B i分别是 A、 B位于第 i个区域内的子图形； L A、 L B、 L A i、 L B i分别是 A、 B、 A i、 B i的长度。
对于 S i m ( A i , B i )的计算，需要顾及到每2个子图形的长度比、夹角、距离等影响人们进行形状相似性判断的视觉因素：① 2个相交的子图形之间的夹角越小，它们的形状相似度越大；② 2个相离的子图形之间的距离越小，它们的形状相似度越大；③ 2个子图形之间的长度越相近，它们的形状相似度就越大。
第 i个区域内的子图形 A i（或/和 B i）可能并非1条线段而是1条折线，则需要寻找并记录 A i（或/和 B i）上的每条线段及与其距离最小的 B i（或/和 A i）上线段。如果 A i、 B i上均多于1条线段，则记录下来的由 A i中各线段寻找到的 B i中的距离最近线段与由 B i中各线段寻找到的 A i中的距离最近线段可能重复，需要删除重复的邻近线段配对。
例如，图5中位于 L 5、 L 6之间的区域内的 A的子图形 A 5是折线 M 3 P A 4 P A 5 M 5， B的子图形 B 5是线段 M 4 M 6，则把 A 5分成线段，然后寻找 A 5上的各线段与 B 5中距离最近的线段。此处 B 5只有1个线段，不再需要由 B 5上的线段来寻找 A 5上的邻近线段。
需要分3种情况来计算 S i m A i , B i。
（1） A i、 B i均为1条线段且相交，如图5中 P B 1 ' Q 1与 P A 1 Q 1。
S i m A i , B i = M i n ( L A i , L B i ) M a x L A i , L B i + L C
式中: M a x (   )、 M i n (   )分别用于求最大值、最小值，意义下同； L C是 A i、 B i围成的三角形的另一条边，如图5中 P B 1 ' Q 1与 P A 1 Q 1围成的三角形的边 P B 1 ' P A 1。
（2） A i、 B i均为1条线段且2条线段拓扑相离，如图5中 M 1 P A 3与 P B 3 ' M 2。
S i m A i , B i = M i n ( L A i , L B i ) M a x L A i , L B i + L m
式中： L m是 A i与 B i之间的平均距离，可用它们中点连线线段的长度代替。
（3） A i、 B i拓扑相离， A i或/和 B i有多于1条线段，如图5中 M 3 P A 4 P A 5 M 5， B与 M 4 M 6。
不失一般性，这里可以把 A i、 B i看作 A、 B，运用公式（2）计算各对线段的权值，然后用式（4）计算各对线段的相似度。设一共有 N对线段，则：
S i m A i , B i = ∑ h = 1 N w h S i m ( A i h , B i h )
式中： A i h、 B i h是第 h对线段； w h是第 h对线段的权值。

4 实验与分析

本文提出的计算2个简单曲线目标形状相似度的方法已被作者用Python语言实现，并用大量的实例对计算结果的正确性进行了测试。因为图形的形状相似与否是人类的一种心理感受，所以本文提出的计算2个简单曲线目标形状相似度的方法是否合理还需要心理学的实验验证[28]。为此，设计了 2个实验，分别测试本文提出的曲线形状相似度计算方法的合理性和准确度。每个实验均用到被试293名，其中专业人员193人，非专业人员100人。这里的专业人员指从事与图形有关的工作或者学习图形相关专业的人员，其他人员称为非专业人员。对专业人员与非专业人员进行区分是因为二者通常在空间问题的认知上可能有差别。
实验1使用了10对曲线，如图6所示。它们被分发给每位被试，确定每对曲线是否相似、有点相似或不相似。根据专家经验，这里将相似度位于区间[0,0.3）的曲线对定义为不相似,位于[0.3,0.7）定义为有点相似,位于[0.7,1.0]定义为相似。在实验的问卷调查中，曲线对按照相似度由大到小顺序排列，但计算得到的相似度对被试人员不可见。测试结果如表1所示，其中非专业人员对曲线对形状相似计算结果的认同度高于专业人员，且二者的认同度均很高，总体认同度为97.78%。这表明用本文提出的相似度计算方法得到的计算结果与人们的总体认知相符。
图6 形状相似度是否合理的心理测试

Fig. 6 A psychological test of whether the shape similarity is plausible

表1 形状相似度是否合理的心理测试结果

Tab. 1 The results of the psychological experiments on whether the shape similarity is plausible (%)

图形组别 形状相似度计算结果认同度
专业人员 非专业人员 全部人员
1 99.48 100.00 99.66
2 99.48 98.99 99.32
3 93.81 96.97 94.88
4 97.94 96.97 97.61
5 94.85 95.96 95.22
6 95.36 97.98 96.25
7 96.39 98.99 97.27
8 98.97 98.99 98.98
9 99.48 98.99 99.32
10 100.00 97.98 99.32
平均 97.58 98.18 97.78
实验2（图7）使用了4组不同的曲线对，并对每一组中的一条曲线进行化简，使2条曲线的形状相似度逐渐减小。要求被试者回答由本文提出的方法计算得到的每个曲线对的形状相似度变化是否合理。其心理测试结果如表2所示，表明非专业人员对计算结果的认同度略高于专业人员，但二者的认同度均很高，平均认同度为91.81%，表明本文提出的曲线形状相似度计算方法得到的结果与人们的认知趋同。
图7 形状相似度变化是否合理的心理测试

Fig. 7 A psychological test of whether the changes in shape similarity is plausible

表2 形状相似度准确与否的心理实验结果

Tab. 2 The results of the psychological experiments on whether the shape similarity is accurate (%)

图形组别 形状相似度计算结果认同度
专业人员 非专业人员 全部人员
1 90.21 92.93 91.13
2 91.24 95.96 92.83
3 91.24 92.93 91.81
4 89.18 95.96 91.47
平均 90.47 94.45 91.81
值得注意的是，计算得到的曲线形状相似度是一个相对值，其大小由2条曲线的形状弯曲度紧密相关。例如，图7第一组中第一个曲线对的相似度较低，这是由于该对曲线中的实心曲线存在的弧形弯曲较多，而弧形弯曲在计算机中是用大量的顶点进行表示的，这些顶点在曲线叠置后会划分出大量的平面区域，导致各区域相似度的加权和比视觉上弧形结构整体的相似度要低。不过人们在应用相似度时，往往采用比较的方式，因此单一曲线对的相似度并不会对应用产生较大影响。

5 讨论与结论

曲线对的形状相似度计算是几何学的重要理论问题，在地理信息学、地图学、图形学、图像处理等中有非常广泛的用途，但是目前为止未见两条曲线的无量纲形状相似度计算方法。为此，本文提出了一种基于图形叠置的曲线形状相似度计算方法，把两条任意简单曲线经过平移、旋转、比例缩放后以最小平均距离为标准叠置在一起，计算出其形状相似度。实验研究表明，该方法的结果在总体合理性，相似度的准确性与人们的空间认知的符合程度很高。该方法的优点是：① 计算简单、直接、快速、高效，无需依赖于大量的样本数据；② 曲线图形可以进行任意的位移、旋转和比例缩放，不会影响形状相似度的计算结果。
本文提出的计算曲线相似度的方法与基于机器学习的方法[27]各有自己的适用场景。本文的方法是直接计算形状相似度，不需要借助于外部数据，故其适用范围广泛。无论要计算形状相似度曲线对的数量多寡，本方法均可适用。基于机器学习的方法则不适合少量曲线对的形状相似度计算，但其对具有大样本量的曲线对数据的情形（如多幅地图的综合）则具有优势。
如何把该方法运用于地图曲线数据的描述、如何计算复杂曲线对的形状相似度，是未来值得继续研究的课题。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序
[1]
郭仁忠. 空间分析[M]. 武汉: 武汉测绘科技大学出版社,1997.

[ Guo R Z. Spatial analysis[M]. Wuhan: Press of Wuhan University of Science and Technology, 1997. ]

[2]
陆利正, 何歆, 凌海雅, 等. 空间曲线的特征识别与高质量非均匀采样[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2022, 34(1):18-24.

[ Lu L Z, He X, Ling H Y, et al. Feature recognition and high-quality nonuniform sampling for spatial curves[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2022, 34(1):18-24.] DOI:10.3724/SP.J.1089.2022.18826

[3]
魏明山, 朱明明, 刘光花, 等. 一种特征点和曲线相似度的目标识别方法[J]. 雷达科学与技术, 2022, 20(6):688-696,704.

[ Wei M S, Zhu M M, Liu G H, et al. A target identification method for feature point and curve similarity[J]. Radar Science and Technology, 2022, 20(6):688-696,704. ] DOI:10.3969/j.issn.1672-2337.2022.06.013

[4]
穆国旺, 张志伟, 臧婷, 等. 基于和参考曲线相似性的B样条曲线延拓[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2018, 30(9):1705-1711.

[ Mu G W, Zhang Z W, Zang T, et al. Extension of B-spline curve based on similarity to reference curve[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2018, 30(9):1705-1711. ] DOI:10.3724/SP.J.1089.2018.16891

[5]
Tinghua, Ai,. A shape analysis and template matching of building features by the Fourier transform method[J]. Computers, Environment and Urban Systems, 2013, 41:219-233. DOI:10.1016/j.compenvurbsys.2013.07.002

[6]
安晓亚, 刘平芝, 金澄, 等. 手绘地图开域空间方向关系检索法[J]. 测绘学报, 2017, 46(11):1899-1909.

DOI

[ An X Y, Liu P Z, Jin C, et al. A hand-drawn map retrieval method based on open area spatial direction relation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2017, 46(11):1899-1909. ] DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170001

[7]
仇阿根. 基于分布式内存计算的空间数据近似查询处理方法[J]. 测绘学报, 2017, 46(12):2044.

DOI

[ Qiu A G. In-memory distributed computing based approximate query processing on spatial data[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2017, 46(12): 2044. ] DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170602

[8]
行瑞星, 武芳, 巩现勇, 等. 建筑群组合直线模式识别的模板匹配方法[J]. 测绘学报, 2021, 50(6):800-811.

DOI

[ Xing R X, Wu F, Gong X Y, et al. The template matching approach to combined collinear pattern recognition in building groups[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2021, 50(6):800-811. ] DOI:10.3969/j.issn.1673-6338.2019.06.014

[9]
李晨, 申德荣, 朱命冬, 等. 一种对时空信息的kNN查询处理方法[J]. 软件学报, 2016, 27(9):2278-2289.

[ Li C, Shen D R, Zhu M D, et al. kNN query processing approach for content with location and time tags[J]. Journal of Software, 2016, 27(9):2278-2289. ] DOI:10.13328/j.cnki.jos.005046

[10]
艾廷华, 帅赟, 李精忠. 基于形状相似性识别的空间查询[J]. 测绘学报, 2009, 38(4):356-362.

[ Ai T H, Shuai Y, Li J Z. A spatial query based on shape similarity cognition[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2009, 38(4): 356-362. ] DOI:10.3321/j.issn:1001-1595.2009.04.012

[11]
闫浩文. 空间相似关系[M]. 北京: 科学出版社, 2022.

[ Yan H W. Spatial similarity relation[M]. Beijing: Science Press, 2022. ]

[12]
Yan H W, Shen Y Z, Li J. Approach to calculating spatial similarity degrees of the same river basin networks on multi-scale maps[J]. Geocarto International, 2016, 31(7):765-782. DOI:10.1080/10106049.2015.1076063.

[13]
孙琛琛, 申德荣, 寇月, 等. 面向实体识别的聚类算法[J]. 软件学报, 2016, 27(9):2303-2319.

[ Sun C C, Shen D R, Kou Y, et al. Entity resolution oriented clustering algorithm[J]. Journal of Software, 2016, 27(9):2303-2319. ] DOI:10.13328/j.cnki.jos.005043

[14]
李平, 阳武, 吴佳英, 等. 基于相似度预测的WSN数据收集算法[J]. 软件学报, 2014, 25(s1):93-102.

[ Li P, Yang W, Wu J Y, et al. Algorithm of WSN data collection based on similarity prediction[J]. Journal of Software, 2014, 25(s1): 93-102. ]

[15]
Li Z X, Zhai J S, Wu F. Shape similarity assessment method for coastline generalization[J]. ISPRS International Journal of Geo-information, 2018, 7(7):283. DOI:10.3390/ijgi7070283

[16]
Arkin E M, Chew L P, Huttenlocher D P, et al. An efficiently computable metric for comparing polygonal shapes[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1991, 13(3):209-216. DOI:10.1109/34.75509

[17]
Belongie S, Malik J, Puzicha J. Shape matching and object recognition using shape contexts[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2002, 24(4):509-522. DOI:10.1109/34.993558

[18]
Bell S, Bala K. Learning visual similarity for product design with convolutional neural networks[J]. ACM Transactions on Graphics, 2015, 34(4):1-10. DOI:10.1145/2766959

[19]
Samsonov T E, Yakimova O P. Shape-adaptive geometric simplification of heterogeneous line datasets[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2017, 31(8):1485-1520. DOI:10.1080/13658816.2017.1306864

[20]
Sharma K P, Pooniaa R C, Sunda S. Map matching algorithm: Curve simplification for Frechet distance computing and precise navigation on road network using RTKLIB[J]. Cluster Computing, 2019, 22(6):13351-13359. DOI:10.1007/s10586-018-1910-z

[21]
Min D, Zhilin L, Xiaoyong C. Extended Hausdorff distance for spatial objects in GIS[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2007, 21(4):459-475. DOI:10.1080/13658810601073315

[22]
程绵绵, 孙群, 李少梅, 等. 多尺度点群广义Hausdorff距离及在相似性度量中的应用[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2019, 44(6):885-891.

[ Cheng M M, Sun Q, Li S M, et al. Generalized Hausdorff distance of multi-scale point group and its application in similarity measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(6):885-891. ] DOI:10.13203/j.whugis20170305

[23]
张建业, 潘泉, 张鹏, 等. 基于斜率表示的时间序列相似性度量方法[J]. 模式识别与人工智能, 2007, 20(2):271-274.

[ Zhang J Y, Pan Q, Zhang P, et al. Similarity measuring method in time series based on slope[J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2007, 20(2):271-274. ]. DOI:10.3969/j.issn.1003-6059.2007.02.022

[24]
张萍, 李必军, 郑玲, 等. 一种基于改进LCSS的相似轨迹提取方法[J]. 武汉大学学报·信息科学版, 2020, 45(4):550-556.

[ Zhang P, Li B J, Zheng L, et al. A similar trajectory extraction method based on improved LCSS[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(4):550-556. ] DOI:10.13203/j.whugis20180406

[25]
Tong X H, Liang D, Jin Y M. A linear road object matching method for conflation based on optimization and logistic regression[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2014, 28(4):824-846. DOI:10.1080/13658816.2013.876501

[26]
程绵绵, 孙群, 徐立, 等. 面轮廓线相似性和复杂性度量及在化简中的应用[J]. 测绘学报, 2019, 48(4):489-501.

DOI

[ Cheng M M, Sun Q, Xu L, et al. Polygon contour similarity and complexity measurement and application in simplification[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2019, 48(4):489-501. ] DOI:10.11947/j.AGCS.2019.20180124

[27]
Li P B, Yan H W, Lu X M. A Siamese neural network for learning the similarity metrics of linear features[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2023, 37(3):684-711. DOI:10.1080/13658816.2022.2143505

[28]
Yan H W. Fundamental theories of spatial similarity relations in multi-scale map spaces[J]. Chinese Geographical Science, 2010, 20(1):18-22. DOI:10.1007/s11769-010-0018-z

Options
文章导航

/

〈 〉