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Journal of Geo-information Science >

2014 , Vol. 16 >Issue 4: 524 - 530

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2014.00524

Orginal Article

Relationship Between DEM Resolution and Average Slope Derived from DEM

  • CHEN Nan*
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  • Spatial Information Research Center, Fuzhou University, Key Lab for Spatial Data Mining and Information sharing of Ministry of Education, Fuzhou University, Fuzhou 350002, China

*The author: CHEN Nan, E-mail：

Received date: 2013-08-13

  Request revised date: 2013-12-16

  Online published: 2014-07-10

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Abstract

At present, slopes are usually derived from discrete DEMs. When deriving slope from DEM, the variation of DEM resolution will cause changes in the slope values which are extracted from the local grids. The variation will be significant in understating the general rule of the variation of average slope with respect to DEM resolution. 8 areas representing the typical geomorphology in Loess Plateau were chosen as the sample areas, and the DEMs with a 5m resolution were established according to the topographic map scaled at 1:10 000. In every sample area, 22 500 sampling points were selected, and the slopes which were derived according to the algorithm of third-order finite difference weighted by reciprocal of squared distance on the sampling points were taken as the research object. The regression analysis, single-factor variance analysis, contrast analysis were adopted to analyze the rule of the influence of DEM resolution on grid slopes. The following conclusions were obtained: (1) the average slope may increase as the resolution of DEM becomes coarser; (2) in all the sample areas, with the resolution becoming coarser, the number of the grids with negative slope error is at least 1.13 times of the grids with positive slope error. The amplitude of average slope of the grids with negative slope error is greater than 3.1 times of the latter. The number of grids with decreasing slopes is 1.81-4.04 times of the grids with increasing slopes; (3) the change of average slope can be explained in this research by combining the author proposed index with the previously mentioned conclusion (2); (4) the number of grids with varied slope values is not sensitive to the resolution of DEM. The slopes of the grids which have positive slope error or negative slope error are intensively distributed in certain intervals of slopes that derived from the DEMs with 5m resolution. The intervals are not sensitive to the resolutions of DEM; (5) the total slope error can be computed, according to the empirical formula proposed in this research and calculated from the DEM resolution and the average slope of DEM with a 5m resolution.

Key words： DEM; slope; error; resolution

Cite this article

CHEN Nan* . Relationship Between DEM Resolution and Average Slope Derived from DEM[J]. Journal of Geo-information Science, 2014 , 16(4) : 524 -530 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2014.00524

1 引言

坡度是影响土壤与植被形成和发育过程的一个重要因素。众多学者研究了DEM分辨率对坡度等地形因子精度的影响规律;一般认为随着DEM分辨率粗略化,许多地形细节被舍去,而宏观的地形起伏特征相对保留较多,平均坡度值会减小[1-6]。目前已经有从DEM自身精度的评定到其对坡度等地形因子精度影响的研究[7-9],并从尺度[1,10-12]和图谱[13]的角度进行论述。也从坡度算法的角度分析了坡度的精度[14-15],并对坡度误差的传播进行了研究[16]。有学者分析了不同分辨率DEM提取的坡度的空间格局[17]。同时在理想数学曲面上分析了DEM格网大小对坡度精度的影响规律[18]。
然而,对于处在某种地形条件下的单个栅格,DEM分辨率的降低却能够导致其单个栅格坡度(以下简称单点坡度)数值增大。为便于说明问题,以某地形的剖面 ACB 为例(图1),当采样较为精细时候(不考虑采样点高程误差,采样点为 A , C 和 B 。设它们在水平面的投影分别为 M , N 和 K ,且长度 MN = NK ),此时可以计算出 MN 对应区域的坡度为 ∠ CAD ,若采样间距扩大为 MK (此时DEM分辨率粗略化),则可以计算出 MK 对应区域的坡度为 ∠ BAD 。根据图1有 ∠ BAD > ∠ CAD ,即DEM分辨率粗略化时, MN 对应区域的坡度被高估,而NK对应区域的坡度被低估(图1)。若单点坡度被高估的栅格与被低估的栅格相对比占优势时,平均坡度会提高,反之,平均坡度会降低。然而,实际三维地形条件下,单点坡度的计算更为复杂。本研究在黄土高原选取若干样区,试图发现平均坡度变化与DEM分辨率(以下简称分辨率,本文中等同采样间距)等因子的关系,以及平均坡度与坡度误差的关系,并分析随分辨率的粗略化,平均坡度降低的本质原因。
Fig.1 Sketch map of the topographic profile

图1 地形剖面示意图

2 DEM分辨率与坡度的相关性实验分析

2.1 实验区的地理背景

实验样区位于黄土高原地区,属于全国地貌格局中的第二个阶梯,黄土沉积厚、分布连片,是黄土塬、梁、峁、沟壑发育典型的地区。样区以所在行政县的县名命名,每样区面积约100 km2(表1)。
Tab.1 Basic information of the sample areas

表1 样区基本情况表

样区编号 样区名称 平均坡度(º) 海拔高度范围(m) 地貌类型
1 安塞 37.92 500~1846 黄土高原丘陵沟壑区
2 长武 13.32 161~1215 黄土塬
3 淳化 12.41 768~1188 黄土塬梁状丘陵区
4 富县 26.76 1147~1459 黄土梁峁状丘陵沟壑区
5 神木 9.45 1035~1323 风沙黄土过渡区域
6 绥德 26.39 820~1180 黄土梁峁状丘陵沟壑区
7 延川 31.30 923~1252 黄土梁峁状丘陵沟壑区
8 宜君 19.26 767~1158 黄土梁状丘陵区
图2为样区所在地理位置示意图,图中的方框代表样区所在位置,方框中编号来自表1中的样区编号。
Fig.2 Geographic sketch map of the sample areas

图2 样区所在地理位置示意图

2.2 分析方法

按照国家的DEM制作规范,得到各个样区分辨率为5 m的DEM。随后在样区5 m分辨率的栅格上,每隔15 m选取一个样点,保证每个样点落在对应栅格的中心点上。每个样区都选取150×150即22 500个样点(对应22 500个栅格)。本研究采用常用的3阶反距离平方权差分算法提取坡度。在不同分辨率DEM中,计算坡度的方法如图3。图3中栅格的分辨率均为5 m,当计算5 m分辨率条件下栅格Q的坡度时,需要中心栅格Q,以及周围8个栅格(图中用离散点纹理填充)的高程。当计算10 m分辨率条件下栅格Q的坡度时,需要中心栅格Q,以及其他8个栅格(图中用绿色填充)的高程。其他分辨率条件下的坡度计算方法类推。
Fig.3 Sketch map of deriving slope from DEM with different resolutions

图3 不同分辨率DEM的坡度计算示意图

2.3 实验计算结果与分析

计算表明,在除安塞样区外的7个样区,随着分辨率粗略化,平均坡度均单调降低。在安塞样区,5 m分辨率的DEM(以下简称5 m DEM,其余类推)和10 m DEM对应的平均坡度先逐步增高,随后15~50 m DEM对应的平均坡度逐步降低。为从微观角度研究和解释平均坡度的增降的原因,本文将从2方面进行分析：(1)DEM栅格的单点坡度增减的幅度与分辨率的关系;(2)单点坡度变化的DEM栅格数量与分辨率的关系。
2.3.1 DEM栅格单点坡度增减的幅度与DEM分辨率的关系
若以从5 m DEM所提取的单点坡度为基准(以下称基准坡度),定义其余分辨率DEM所提取的单点坡度与基准坡度的差为坡度误差E。Jarque-Bera检验(显著性水平0.05)结果表明,各样区不同分辨率条件下的E均不服从正态分布。对所有样区,随着分辨率粗略化,E绝对值的平均值( E a )均增大(图4)。说明总体上分辨率粗略化将造成单点坡度的误差数值增大。定义10~50 m DEM所提取的单点坡度比基准坡度大的栅格为正误差栅格(本研究中每个采样点占有一个栅格),同理定义负误差栅格。所有负误差的绝对值的平均值记作 E n (图5),所有正误差栅格的误差的平均值记作 E p (图6)。
Fig.4 The curves of Eafrom the DEMs with different resolutions in sample areas

图4 各样区不同分辨率DEM对应的Ea变化曲线图

Fig.5 The curves of Enfrom the DEMs with different resolutions in sample areas

图5 各样区不同分辨率DEM对应的En变化曲线图

Fig.6 The curves of Epfrom the DEMs with different resolutions in sample areas

图6 各样区不同分辨率DEM对应的Ep变化曲线图

通过计算可知,随分辨率粗略化, E n 和 E p 的变异系数均逐渐减小。这表明,此时虽然误差值总体增大,误差En和Ep的变动幅度都在减小,误差自身的分布更为集中。本研究对Ea,En和Ep3种误差进行了回归分析,为了保证回归模型的统一,均采用E1=aln(r)+b进行回归分析(其中,a和b为方程的参数,r为分辨率,E1代表前述3种误差)。在所有样区,回归方程Ea=aln(r)+b的复决定系数( R 2 )均高于0.985。将相应的参数 a 和 b 分别对5 m DEM的平均坡度( s )进行回归分析得到如下方程：
a=0.514s-0.002,R2=0.974; b=0.285s+0.004,R2=0.953。将这2个方程代入Ea=aln(r)+b可得：
Ea=(0.514s-0.002)ln(r)-(0.285s+0.004) (1)
式(1)给出了由平均坡度 s 预测坡度误差Ea的公式,并可在已知Ea和s的条件下计算出适宜的分辨率。式(1)说明Ea的变化与样区的5 m DEM对应的平均坡度和分辨率高度相关,当s一定时,Ea是关于分辨率的自然对数的函数。根据该函数的性质,并结合对Ea数据的分析可知,当 r 数值较小(DEM较精细)时, r 的单位变化引起的Ea的变化较明显;当 r 数值较大(DEM较粗略)时,r的单位变化引起 E a 的变化较不明显。所以,在选择适宜分辨率时候,若分辨率较精细时,应该更加关注 r 数值的变化。
通过回归分析发现,除安塞样区外,其他7个样区的 E n 和 E p 都是关于分辨率的自然对数的函数,对应的回归方程的 R 2 分别大于0.991和0.920。根据该函数的性质,并结合对 E n 和 E p 数据的观察可知,当 r 数值较大时, r 的单位变化所引起的 E n 或 E p 的变化较小,为保证这种规律,此时 E n 或 E p 的自身变化幅度相对自身数值也必须较小,这意味着,此时 E n 或 E p 的变异系数较小(尽管其平均值较大)。安塞样区中 E n 也是关于分辨率的自然对数的函数,回归方程的 R 2 为0.988,其变化规律同其他样区,而其 E p 回归方程的 R 2 为0.513。从图6可知,安塞区 E p 虽然随分辨率粗略化而先增加再减小,但总体趋势依然是增加的。因此,安塞样区中 E n 或 E p 的变异系数随分辨率粗略化而降低。
若定义50 m DEM与10 m DEM对应的 E n 之差值除以40 m(即50~10 m)为 E n 对于分辨率的敏感度指标 E n r ,该指标反映单位分辨率的变化所引起的 E n 数值的变化。同理定义 E p 的敏感度指标 E p r 。计算表明, E n r ∈ 0.001744,0.010512 , E p r ∈ 0.000565725 , 0.00281225 ] ,对于同一个样区 E n r 是 E p r 的3.1-4.4倍。总体说明,负误差均值比正误差均值对分辨率的单位变化更为敏感,即相同的分辨率变化,会引起负误差均值以3.1倍以上于正误差均值的幅度变化,这会导致随分辨率粗略化,负误差栅格在平均坡度的增减变化中最终起到主导作用(在安塞样区,虽然10~20 m DEM对应的坡度负误差未起主导作用,但当分辨率粗略化到25~50 m时,坡度负误差起主导作用)。这也是随分辨率的粗略化平均坡度减低的原因之一。
若将 E n 与 E p 相比,发现除在安塞样区外的样区,其比值都在1以上,并且随分辨率粗略化,比值均逐步增加。若将 E n 所对应的栅格数量(负误差栅格数量,记作 En _ count )与 E p 所对应的栅格数量(正误差栅格数量,记作 Ep _ count )相比,可以发现,除安塞样区外,其他样区中负误差栅格均多于正误差栅格数量,并且随分辨率粗略化,比值逐步增加。
若定义指标,则可计算出10,15,20,…,50 m DEM分别对应的 A 数值。对于除安塞样区外的各样区, A 均为负值,这说明单点坡度数值减小的量和相应栅格数量的总体作用占优势,那么,随着分辨率粗略化,平均坡度降低。对于安塞样区,10、15和2 m DEM的 A 为正值(且逐步升高),而25~50 m DEM的 A 均为负值,这导致10、15和20 m DEM的平均坡度高于其5 m DEM的平均坡度,且逐步升高;25~50 m DEM的平均坡度低于其5 m DEM的平均坡度。
2.3.2 单点坡度变化的DEM栅格数量与DEM分辨率的关系
将同一样区的各个分辨率DEM对应的单点坡度误差层面进行复合叠置,对所得图层进行分析(表2)。表2中一直保持正误差的栅格表示同一样区中10~50 m分辨率DEM对应的单点坡度误差均为正的栅格。一直保持负误差的栅格的定义可类推。
Tab.2 Statistical parameters of the grids with negative or positive slope error

表2 正误差与负误差栅格统计参数表

比较项 样区
安塞 长武 淳化 富县 神木 绥德 延川 宜君
一直保持正误差的栅格个数(个) 5042 4137 4093 3548 3350 3644 2791 4237
一直保持正误差的栅格个数与10m DEM正误差栅格个数之比(%) 57.96 44.63 48.73 36.63 43.67 38.93 31.72 44.19
一直保持负误差的栅格个数(个) 9121 9256 10 235 10 078 11 311 10 551 11 288 9038
一直保持负误差的栅格个数与
10 m DEM负误差栅格个数之比(%)		 92.27 72.40 72.68 78.66 76.31 85.33 82.42 70.27
可见,对所有样区,只有44%~58%的正误差栅格保持为正误差栅格,而70%以上的负误差栅格保持为负误差栅格。一直保持负误差的栅格是一直保持正误差的栅格数量的1.81-4.04倍。这是在除安塞外的样区中平均坡度随分辨率粗略化而减小的原因之一(安塞样区还需结合指标 A 进行讨论)。
单因素方差分析的结果(其 p 统计值均为1.000)表明,在每个样区,分辨率对正负误差的栅格数量没有影响。这也印证了以下规律：采样点处地表函数的1阶偏导数和3阶(混合)偏导数的正负将影响该点处单点坡度误差的正负,而分辨率对单点坡度误差的正负无影响[18]。
2.3.3 单点坡度误差的正负与基准坡度的分级关系
将在5 m DEM上得到的坡度(基准坡度)分为9个等级(按照我国水土保持部门普遍采用的临界坡度分级标准,并将其作为基本的分级方案,结合研究特点进行分级延伸,分别是0~3°,3~5°,5~8°,8~15°,15~25°,25~35°,35~45°,45~60°,60~90°)。下文用序号1-9依次代表以上的9个分级级别。将各个基准坡度分级别后与10~50 m DEM对应的单点坡度正误差栅格层进行复合叠置,随后可以统计出在每一个坡度分级级别正误差栅格数量占其总数量的百分比。对负误差栅格进行类似处理。限于篇幅,文中只给出绥德样区相关数据,见表3和表4(由于所有样区的总栅格数量均为22 500个,可以根据表3和表4中百分比值计算出该样区正误差和负误差栅格的数量)。可见,在绥德样区中,不同分辨率DEM的正误差栅格都集中于个别坡度的分级区间,负误差栅格也都集中于个别坡度的分级区间。在其他样区中也存在相同的规律,说明单点坡度误差的正负情况与基准坡度是有关系的。
对于表3和表4的数据,单因素方差分析的结果( p 统计值均为1.000)表明分辨率对正(或负)误差栅格的基准坡度所在的坡度分级区间没有影响。其他样区的分析也得到同样的结果,此现象值得更深入的研究。
Tab.3 Percentage of the grids with positive slope error on every slope grade in Suide sample area(%)

表3 绥德样区不同坡度级别的正误差栅格数量百分比(%)

分辨率(m) 坡度分级编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0.00 0.00 0.00 0.00 66.04 32.35 1.61 0.00 0.00
15 0.00 0.00 0.00 0.00 64.88 33.45 1.67 0.00 0.00
20 0.00 0.00 0.00 0.00 62.94 35.30 1.76 0.00 0.00
25 0.00 0.00 0.00 0.00 60.10 38.00 1.90 0.00 0.00
30 0.00 0.00 0.00 0.00 56.59 41.35 2.06 0.00 0.00
35 0.00 0.00 0.00 0.00 52.76 45.00 2.24 0.00 0.00
40 0.00 0.00 0.00 0.00 48.44 49.12 2.45 0.00 0.00
45 0.00 0.00 0.00 0.00 44.14 53.21 2.65 0.00 0.00
50 0.00 0.00 0.00 0.00 39.62 57.51 2.87 0.00 0.00
Tab.4 Percentage of the grids with negative slope error on every slope grade in Suide sample area (%)

表4 绥德样区不同坡度级别的负误差栅格数量百分比(%)

分辨率(m) 坡度分级编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 82.06 0.10 0.39 6.76 10.69 0.00 0.00 0.00 0.00
15 71.72 0.12 0.56 9.13 18.47 0.00 0.00 0.00 0.00
20 63.54 0.20 0.90 11.46 23.90 0.00 0.00 0.00 0.00
25 55.74 0.37 1.36 13.02 29.51 0.00 0.00 0.00 0.00
30 48.78 0.50 2.05 15.34 33.32 0.00 0.00 0.00 0.00
35 43.14 0.69 2.83 17.97 35.38 0.00 0.00 0.00 0.00
40 38.27 1.02 3.41 20.51 36.80 0.00 0.00 0.00 0.00
45 34.49 1.36 3.98 23.38 36.79 0.00 0.00 0.00 0.00
总之, E n 均比 E p 对s,地形起伏程度和分辨率敏感;对于各种地形,当分辨率粗略化时,负误差的栅格对平均坡度的影响越来越居主导的作用,但并不意味着负误差的栅格在分辨率精细时一定起主导作用。

3 结论

在黄土高原的试验发现,DEM分辨率粗略化并不一定造成所提取出的坡度平均值降低。坡度平均值变化需要从单点坡度变化(增加或减小)栅格的数量,以及变化的幅度两方面同时解释。随着DEM分辨率粗略化,负误差均值是正误差均值变化幅度的3.1倍以上,坡度负误差均值对DEM分辨率的变化更为敏感;保持负误差的栅格是保持正误差的栅格数量的1.81-4.04倍。以上两点事实可以解释多数情况下,观测到坡度平均值减小的原因。同时,研究提出了用指标 A 来精确地描述平均坡度变化的规律,可用来解释在安塞样区,10~20 m DEM对应的平均坡度大于5 m DEM对应的平均坡度的现象。
此外,随DEM分辨率粗略化,误差 E n 和 E p 的变异系数减小,分布更为集中,可通过 E n 和 E p 的拟合函数的性质解释这一现象。DEM的分辨率对正负误差的栅格数量没有影响。正误差(或负误差)栅格都集中于个别基准坡度的分级区间,而DEM分辨率对此坡度集中的区间没有影响。
本文给出了通过平均坡度预测坡度误差的经验公式,并可在已知误差 E a 和平均坡度的条件下计算出适宜的DEM分辨率。该经验公式适用于黄土高原地区,能否适用于其他地貌类型的地区还有待探讨。

The authors have declared that no competing interests exist.

References

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[1]
刘学军,张平.DEM坡度、坡向的有效尺度范围[J].武汉大学学报(信息科学版),2008,33(12):1254-1258.

[2]
汤国安,赵牡丹,李天文,等.DEM提取黄土高原地面坡度的不确定性[J].地理学报,2003,58(6):824-830.

[3]
邓仕虎,杨勤科.DEM采样间隔对地形描述精度的影响研究[J].地理与地理信息科学,2010,26(2):23-26.

[4]
Shi W Z, Tian Y.A Hybrid Interpolation method for the refinement of a regular grid digital elevation model[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2006,20(1):53-67.

[5]
Jai V, Jin T, Georgina S.Impact of DEM accuracy and resolution on topographic indices[J]. Environmental Modeling & Software, 2010,25(10):1086-1098.

[6]
Erskine P H, Green T R, Ramirez J A, et al.Digital elevation accuracy and grid cell size: Effects on estimated terrain attributes[J]. Soil & Water Management & Conservation, 2007,71(4):1371-1380.

[7]
胡鹏. 新数字高程模型:理论、方法、标准和应用[M].北京:测绘出版社,2007:46-64.

[8]
周启明,刘学军.数字地形分析[M].北京:科学出版社,2006,266-290.

[9]
李志林,朱庆.数字高程模型[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社,2000,60-72.

[10]
汤国安,刘学军,房亮,等.DEM及数字地形分析中尺度问题研究综述[J].武汉大学学报(信息科学版),2006,31(12):1059-1066.

[11]
Gao J, James E, Zhu A X.Neighborhood size and spatial scale in raster-based slope calculations[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2012,26(10):1959-1978.

[12]
Zhang J X, Chang K T, Wu J Q.Effects of DEM resolution and source on soil erosion modeling: A case study using the WEPP model[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2008,22(8):925-942.

[13]
Tang G A, Li F Y, Liu X J, et al.Research on the slope spectrum of the loess plateau[J].Science in China(E), 2008,51(1):175-185.

[14]
赵明伟,汤国安,张磊,等.基于DEM的5节点二阶差分坡度算法模型与实验分析[J].地球信息科学学报, 2012,14(3):286-291.

[15]
卢华兴,刘学军,王永君,等.插值条件下格网DEM 坡度计算模型的噪声误差分析[J].测绘学报,2012,41(6):926-932.

[16]
Livnea E,Svoraya T.Components of uncertainty in primary production model: The study of DEM, classification and location error[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2011,25(3):473-488.

[17]
刘红艳,杨勤科,王春梅,等.坡度随水平分辨率变化及其空间格局研究[J].武汉大学学报(信息科学版),2012,37(1):105-109.

[18]
陈楠. DEM分辨率变化对坡度误差的影响[J].武汉大学学报(信息科学版),2013,38(5):594-598.

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