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Journal of Geo-information Science >

2015 , Vol. 17 >Issue 3: 268 - 273

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2015.00268

Orginal Article

Three-dimensional Urban Gravity Center Calculation Method and Empirical Research: A Case Study of Nanjing

  • QIAO Weifeng , 1, 2, 3 ,
  • LIU Yansui , 2, * ,
  • WANG Yahua 1, 3 ,
  • XIANG Lingzhi 1
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  • 1. School of Geography Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, China
  • 2. Institute of Geographic Sciences and Natural Resources Research, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100101, China
  • 3. Jiangsu Center for Collaborative Innovation in Geographical Information Resource Development and Application, Nanjing 210023, China
*Corresponding author: LIU Yansui, E-mail:

Received date: 2014-07-10

  Request revised date: 2014-08-06

  Online published: 2015-03-10

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Abstract

The current studies on urban gravity center mainly focus on two-dimensional urban gravity center that based on the planar form. Now the trend of urban vertical expansion is more and more distinctive, it is necessary to research the calculation method and analyze the variation of three-dimensional urban gravity center. Based on the analysis of the calculation method of two-dimensional gravity center, this paper deduces a new method to calculate the three-dimensional urban gravity center. It takes three-dimensional urban space as a combination that is formed by multiple stacked layers of ‘sheet’, and uses the mathematical formula of this combination’s gravity center to calculate the three-dimensional urban gravity center. Taking Nanjing as an experimental area for validation, we calculate the two-dimensional and three-dimensional urban gravity centers respectively and contrasts their changing trails. The result shows that the method proposed in this paper is easy to obtain urban entity’s three-dimensional gravity center. Also, the position of the three-dimensional urban gravity center obtained in this way is correct. Through the analysis of the variation law of the two-dimensional and the three-dimensional urban gravity centers in Nanjing, the projections of the two gravity centers have similar changing characteristics and regularities, but a certain degree of deviation between the two trails. The direction of deviation evidently corresponds to the dense regions of high-rise buildings. Taking full account of the urban expansion in the vertical direction, the three-dimensional urban gravity center provides an effective way in reflecting the characteristics and regularities of urban spatial change.

Key words： urban space; three-dimensional gravity center; calculation method; Nanjing

Cite this article

QIAO Weifeng , LIU Yansui , WANG Yahua , XIANG Lingzhi . Three-dimensional Urban Gravity Center Calculation Method and Empirical Research: A Case Study of Nanjing[J]. Journal of Geo-information Science, 2015 , 17(3) : 268 -273 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2015.00268

1 引言

城市作为人类活动最为活跃的空间区域,其形态在城市形成与发展的时空过程中不断发生着变化,同时也反映着这一过程的特征和规律[1-2]。在城市形态研究中,监测城市形态重心的变化是一种重要的方法,很多学者以此方法对城市形态的演变和重心转移规律进行了深入探讨[3-7]。在相关研究中,张树清等在矢量景观理论中对单个地理对象的空间重心给出了理论定义和公式推导[8];匡文慧等人在此基础上提出空间重心转移距离和重心转移角度两项指标,用以进一步分析重心转移的距离和方向性[9],并在近几年的城市用地扩张和形态演化等相关研究中得到了广泛应用[10-11]。同时,重心的研究方法也被拓展应用于人口重心、经济重心、景观空间重心、生态服务重心和土地利用重心等研究中[12-17],它是将重心作为一种加权平均中心,以人口、经济总量、各类土地资源面积等作为权重参考,以经纬度坐标或者直角坐标为基础计算得到的[18]。
上述研究均是二维平面空间重心的求解,城市二维重心研究反映了城市平面布局的“倾向性”,其变化有效表征了城市平面拓展的方向和城市几何中心的迁移情况。随着社会经济的发展与城市发展阶段的转变,我国大、中型城市建筑的垂向伸展现象日益显著。因此,在城市空间扩展与形态变化的研究中,有必要对城市的三维形态及其三维空间扩张进行研究,而城市三维重心的变化分析是一种重要的方法。城市三维重心的研究将城市垂向伸展因素充分考虑进去,同时期的三维重心与二维重心相比,会向城市中的高强度、高密度利用地区偏移,其动态变迁可反映城市三维空间利用的总体变化趋势。现有文献中尚无求取城市三维重心的成熟方法,因此,本文在深入研究二维平面重心求取方法的基础上,探讨了一种三维重心的求取方法,并以南京市为例进行了验证,分析得出了南京市城市三维重心变化的规律。

2 三维重心求解的基本思路

二维平面重心的提取仅可反映城市二维空间变化特点,但难以全面反映我国城市三维空间扩张日益显著的背景下城市空间变化特点和规律。本文在研究二维重心提取方法的基础上,提出城市三维重心提取的基本思路（图1）：首先,基于城市高分辨率遥感影像和城镇地籍图等辅助资料,提取城市中各建筑轮廓和建筑高度[19];其次,将整个城市建成区划分成合适边长（本文选择500 m边长）的若干个规则格网,对跨格网建筑进行分割,根据各格网内的建筑轮廓和建筑高度,计算格网内的建筑总面积,依据格网面积计算各格网的平均建筑高度;再次,用反距离权重法对格网数据进行插值处理,并采用等值线追踪法生成建筑高度等值线,将建筑高度等值线三维立体化,生成三维城市简化模型;最后,将三维城市简化模型看成是由若干“薄板”构成的组合体,利用组合体重心求解原理计算三维城市的重心。
Fig. 1 Flowchart of extraction technique of the three-dimensional urban gravity center

图1 城市三维重心提取技术路线图

3 依组合体原理求解三维重心

将三维城市简化模型看成是由城市建筑高度等值线三维立体化后形成的一层层“薄板”搭建起的组合体,在二维重心求解原理的基础上,根据组合体的重心求解原理计算三维实体的重心。

3.1 二维平面重心求解原理剖析

在相同的重力场下,均质物体（密度、比重为定值）的重心、质心和形心是重合的,本研究中将城市建成区的平面形态和城市简化模型的三维形态都看成是均质的,因此,求重心的问题可转化成求形心的问题。矢量景观理论对于单个地理对象的空间重心给出了理论定义和公式推导[8]。
图2中,S为城市建成区,其面积为A;（x,y）是S内部某点的坐标;C点为S的重心,其坐标为 ( x ̅ , y ̅ ) ;dxdy是（x,y）点的微分面积。 x ̅ 、 y ̅ 的公式推导如下：
Q x = - 1 6 ∑ i = 0 n ( x i + 1 - x i ) ( y i 2 + y i y i + 1 + y i + 1 2 ) （1）
Q y = - 1 6 ∑ i = 0 n ( y i + 1 - y i ) ( x i 2 + x i x i + 1 + x i + 1 2 ) （2）
x ̅ = Q y A , y ̅ = Q x A （3）
式中,Qx、Qy可理解为绕x轴和y轴的力矩。
Fig. 2 The spatial gravity center of plane geographic object

图2 平面地理对象的空间重心

3.2 三维重心求解

先生成城市建筑高度等值线（其生成方法见参考文献[19]）,而后将城市建筑高度等值线三维立体化,并将三维城市看作由一层层“薄板”搭建起的组合体（图3）。
Fig. 3 The schematic diagram of three-dimensional urban gravity center calculated from building height contours

图3 建筑高度等值线城市三维重心计算原理示意图

各“薄板”重心的平面坐标x、y通过求平面重心的方法获得,而z坐标为：
z i = ( i - 1 ) + h 2 （4）
式（4）中,i为“薄板”所在的层数;h为“薄板”的厚度（高度）,即两条建筑高度等值线数值之差。各部件（薄板）的组合体的三维重心的坐标为：
x ˜ = ∑ x i v i ∑ v i , y ˜ = ∑ y i v i ∑ v i , z ˜ = ∑ z i v i ∑ v i （5）
式（5）中, x ˜ 、 y ˜ 、 z ˜ 为城市三维重心的坐标;xi、yi、zi为第i个“薄板”的三维重心的坐标; vi为第i个“薄板”的体积,等于“薄板”面积与厚度h的乘积。
为进一步分析不同时期城市三维空间重心转移的距离和方向性,引入如下变量：
三维空间重心转移距离(Dt+1)：
D t + 1 = ( x ˜ t + 1 - x ˜ t ) 2 + ( y ˜ t + 1 - y ˜ t ) 2 + ( z ˜ t + 1 - z ˜ t ) 2 （6）
三维重心转移距离在xoy平面上的投影距离 ( D t + 1 ' ) ：
D t + 1 ' = ( x ˜ t + 1 - x ˜ t ) 2 + ( y ˜ t + 1 - y ˜ t ) 2 （7）
三维重心高差变化(Zt+1)：
Z t + 1 = z ˜ t + 1 - z ˜ t （8）
三维重心在三维空间的转移角度可分解为xoy平面上的转移角度和在垂直方向上（z轴）的转移角度。其中,xoy平面上的转移角度：
当 x ˜ t + 1 - x ˜ t ≥ 0 且 y ˜ t + 1 - y ˜ t ≥ 0 时,
β t + 1 = arctan y ˜ t + 1 - y ˜ t x ˜ t + 1 - x ˜ t （9）
当 x ˜ t + 1 - x ˜ t ≥ 0 且 y ˜ t + 1 - y ˜ t ≤ 0 时,
β t + 1 = 2 π + arc tan y ˜ t + 1 - y ˜ t x ˜ t + 1 - x ˜ t （10）
当 x ˜ t + 1 - x ˜ t ＜ 0 时,
β t + 1 = π + arctan y ˜ t + 1 - y ˜ t x ˜ t + 1 - x ˜ t （11）
垂直方向上的转移角度：
α t + 1 = arctan z ˜ t + 1 - z ˜ t ( x ˜ t + 1 - x ˜ t ) 2 + ( y ˜ t + 1 - y ˜ t ) 2 （12）
式（9）-（12）中,βt+1为从t到t+1时期三维空间重心转移在xoy平面上投影后从正东方向逆时针旋转的角度;at+1为三维空间重心转移在垂直方向上的变化角度。

4 南京市二维、三维重心求取及变化规律分析

以南京市建成区为研究对象,根据二维、三维重心求解原理分别计算若干年南京市城市实体的二维和三维重心,并进行对比分析和变化规律的探讨。由于二维平面重心的计算仅需识别城市建成区的轮廓外形,由Landsat影像即可识别,本文计算了1980、1990、2000、2004、2008和2012年6个时相的城市二维平面重心（除1980年采用MSS影像外,其他年份采用TM/ETM+影像）;三维重心的提取需先借助高分辨率影像提取城市建筑轮廓和建筑高度,高分辨率影像采用IKONOS、GeoEye-1等数据。由于高分辨率影像获取较困难,且建成区范围大,故本文提取了南京市2000、2004、2008和2012年4个时相的城市三维重心。在提取过程中,对于某些时相、某些区域不易获取高分影像的,采用地籍图、大比例尺地形图和Google Earth上的高分辨率历史影像进行辅助判读。本文实验分析在ArcGIS软件中完成。

4.1 南京市城市二维平面重心转移分析

根据二维重心的计算方法,计算了6个时相的南京城市二维重心。表1为6个时相的南京城市二维平面重心的位置描述、移动距离和转移方向。
Tab. 1 The shift direction and distance of the two-dimensional gravity center

表1 二维平面重心转移方向与距离

年份 平面重心位置 移动距离（m） 转移方向（°） 扩张方向
1980 鼓楼广场北侧
1990 火车站西侧 2751 73.04 NE
2000 北极阁公园北侧 2625 276.32 SE
2004 华山饭店西侧 1599 303.69 SE
2008 西安门 1291 281.86 SE
2012 新街口东侧 1564 186.10 SW
1980年南京的城市范围主要在明城墙范围内,城墙外仅中华门南、中央门北、中山门东、下关、桥北、老浦口火车站等区域有所发展,城市平面重心在鼓楼广场北侧;1980-1990年河西、江宁、晓庄、尧化门、金陵石化炼油厂、桥北、大厂、江北化工区都有所发展,但以东北方向发展最快,平面重心转移距离为2751 m,转移方向与正东方向夹角为73.04°;1990-2000年城市发展的重点是河西和江宁地区,平面重心向南转移,转移距离为2625 m,转移方向与正东方向夹角为276.32°;2000-2004年仙林、江北都有大的发展,但江宁大学城、淳化地区发展更快、扩张规模更大,城市重心往东南转移1599 m,转移方向与正东方向夹角为303.69°;2004-2008年重点扩张区域是仙林东部、东山老城北部、禄口新城、板桥新城和滨江开发区等,重心转移方向主要向南、转移距离为1291 m,与正东方向的夹角为281.86°;2008-2012年重点扩张区域为河西南部、板桥新城、滨江开发区、江北珠江镇和桥林等地区,平面重心主要向西转移,转移距离为1564 m,转移方向与正东方向的夹角为186.1°。

4.2 南京市城市三维重心转移分析

根据三维重心的求解原理,计算了4个时相的南京城市三维重心。图4为2012年南京市建筑高度等值线三维立体化后的效果图（局部）。图5为南京市三维重心变化图。表2为三维重心的位置、转移方向与距离表。
Fig. 4 The three-dimensional sketch of building height contours in Nanjing in 2012

图4 2012年南京市建筑高度等值线三维示意图

Fig. 5 The change of three-dimensional center in Nanjing

图5 南京市三维重心变化

Tab. 2 The shift direction and distance of three-dimensional gravity center

表2 三维重心转移方向与距离

年份 三维重心在平面的投影位置 三维重心的高度（m） 平面投影点转移距离（m） 平面投影点转移方向（°） 三维重心扩张方向
2000 鼓楼广场东侧 2.40
2004 大行宫 2.47 2041 291.93 SE
2008 西安门南侧 2.45 863 303.06 SE
2012 新街口南侧 2.51 1637 182.97 SW
考察城市三维重心的变化,2000年城市三维重心的平面投影点在鼓楼广场东侧,三维重心的高度为2.4 m;2000-2004年三维重心在平面上向东南移动了2041 m,高度增加了0.7 m,期间虽然平面扩张较快,但内部填充、老城改造的力度较大,重心的高度有一定幅度的增长;2004-2008年三维重心的平面投影向东南移动了863 m,由于该段时期平面扩张速度快,内部挖潜力度较小,导致三维重心的高度降低了0.02 m;2008-2012年由于奥体新城、南京高铁南站区域开发力度加大,三维重心的平面重心点向西偏南方向转移了1637 m,重心高度提高了0.6 m,反映出该时期开始加大城市内部挖潜的力度。

4.3 南京市二、三维空间重心变化规律对比分析

二维重心的位置仅与城市建成区的平面形态有关,而三维重心表征的是城市三维空间的重心,充分考虑了城市建筑高度因素,因此,同时期三维重心的平面投影与二维重心的位置相比,必然向城市高层建筑密集、城市建筑集中的方向偏移。三维重心对于刻画城市三维空间利用特点具有明显优势。将南京城市二维重心和三维重心的平面投影的变化规律进行对比分析,结果如图6所示。
Fig. 6 Comparison between the two-dimensional and three-dimensional gravity centers in Nanjing

图6 南京市的二、三维重心变化对比图

由图6可看出,2000年以后,各个时期的二维重心和三维重心的投影有相同的变化规律,2000-2004年、2004-2008年2个时期均是向东南方向移动,2008-2012年都是向西偏南方向移动。但是,各个时期的三维重心的投影和同时期的二维重心的位置相比,均不同程度地向西南方偏移,说明城市中部、西部和南部为高层建筑密集区域。

5 结论

本文推导出了一套由城市建筑高度等值线计算城市实体三维重心的方法,基于平面重心求取方法,将城市建筑高度等值线三维立体化,生成三维城市简化模型,将三维城市看作由一层层“薄板”搭建成的组合体,利用组合体的重心计算公式求取城市三维重心。利用该方法以南京市建成区为例进行实验表明,该方法可较为快捷准确地计算城市三维重心。通过对南京城市三维重心转移规律的分析表明,2000年南京城市三维重心的平面投影点在鼓楼广场东侧,三维重心的高度为2.4 m;至2012年三维重心的平面投影点经历了由向南转为向西的发展过程,至2012年落在新街口南侧,三维重心的高度为2.51 m,反映了12年间城市在不断扩张,同时城市发展的主要方向为南部和西部地区。南京市三维重心的投影虽然和二维重心有类似的变化特点和规律,但是,其位置却有一定程度的偏移,偏移方向与高层建筑密集区域相对应。城市三维重心充分考虑到城市垂向扩张,研究城市三维重心的变化比二维重心,更有利于全面地反映城市空间的变化特点和规律。今后应在原理分析和手工操作的基础上,进一步研发Urban DEM或城市建筑高度等值线求取城市三维重心的软件功能模块,使城市三维重心的分析应用能更广泛深入。

The authors have declared that no competing interests exist.

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