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Journal of Geo-information Science >

2015 , Vol. 17 >Issue 3: 344 - 352

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2015.00344

Orginal Article

A Novel Approach on Mixed Noise Removal Based on Low-rank Matrix Reconstruction

  • MENG Fan , 1, 2 ,
  • YANG Xiaomei , 1, * ,
  • ZHOU Chenghu 1
Expand
  • 1. Institute of Geographic Sciences and Natural Resources Research, CAS, Beijing 100101, China
  • 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
*Corresponding author: YANG Xiaomei, E-mail:

Received date: 2014-05-26

  Request revised date: 2014-08-23

  Online published: 2015-03-10

Copyright

《地球信息科学学报》编辑部 所有
Fold

Abstract

This paper studies the problem of the restoration of images corrupted by mixed Gaussian-impulse noise. In recent years, low-rank matrix reconstruction has become a research hotspot in many scientific and engineering domains such as machine learning, image processing, computer vision and bioinformatics, which mainly involves the problems of matrix completion and robust principal component analysis. The two problems namely focus on recovering a low-rank matrix from an incomplete but accurate sampling subset of its entries, or from an observed data matrix with an unknown fraction of its entries being arbitrarily corrupted, respectively. Inspired by these ideas, the problem of recovering a low-rank matrix from an incomplete sampling subset of its entries with an unknown fraction of the samplings contaminated by arbitrary errors was considered, which was defined as a problem of matrix completion from corrupted samplings and modeled as a convex optimization problem that minimizes a combination of the nuclear norm and the l1-norm in this paper. Meanwhile, a novel and effective algorithm called augmented subsection Lagrange multipliers was put forward to exactly solve the problem. For the mixed Gaussian-impulse noise removal, we regard it as the problem of matrix completion from corrupted samplings, and restore the noisy images following by an impulse-detecting procedure. Compared with some existing methods for mixed noise removal, the recovery quality of our method is dominant when the images possess low-rank features such as geometrically regular textures and similar structural contents. Especially when the density of impulse noise is relatively high and the variance of Gaussian noise is small, our method can outperform the traditional methods significantly not only in the simultaneous removal of Gaussian noise and impulse noise, and in the restoration of low-rank image matrix, but also in the preservation of textures and details of the image.

Key words： mixed noise removal; matrix completion; robust principal component analysis; low-rank matrix reconstruction; augmented Lagrange multipliers

Cite this article

MENG Fan , YANG Xiaomei , ZHOU Chenghu . A Novel Approach on Mixed Noise Removal Based on Low-rank Matrix Reconstruction[J]. Journal of Geo-information Science, 2015 , 17(3) : 344 -352 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2015.00344

1 引言

在图像获取和传输的过程中,噪声严重降低了图像的视觉质量,给图像分析与理解带来了困难。图像去噪旨在有效消除影像噪声的同时,保留影像中的细节边缘与纹理等特征。
在图像去噪中,经常涉及到2种普遍的典型噪声,即加性高斯噪声与脉冲噪声。对于高斯噪声的去除,Buades等[2]提出的非局域均值（Nonlocal Means）是一种相当有效的方法,其在抑制高斯噪声的同时,能有效地保持图像中的细节结构特征不变。此法较好地利用了自然图像中的冗余度信息,依据邻域相似度原则计算图像中所有像元的加权平均值,以获得一个满意的滤波效果。受到非局域理念的触发,随后一些非局域的去噪方法,如BM3D[3]与K-SVD[4]被提出,并成为了当前最好的去除高斯噪声的滤波方法。传统的脉冲噪声去除法通常对图像进行局部非线性的运算,其中,经典的中值滤波法及其一些变体如自适应中值滤波,渐进式开关中值滤波,以及方向加权中值滤波等是较为常用的方法。这种类型的非线性滤波器能够有效地滤除脉冲噪声,但是,不能有效地保留图像细节信息。为了更好地保持边缘细节与纹理等信息,引入了变分法[7-9]。
绝大多数已有的图像去噪法只能处理单一类型的噪声,而现实世界中遇到的图像噪声通常是多种噪声的混合,并且有研究指出这些图像噪声模型一般可用高斯与脉冲噪声的混合来表示。有效地去除这种混合噪声是一个相当困难的问题,主要是因这两种噪声具有不同的自然特性。两步法的策略对混合噪声的去除则表现出了强大的优越性,其首先探测或估计图像中的脉冲噪声,然后进行复原处理。Garnett等[12]提出了一种通用的噪声去除算法,即首先探测影像中受脉冲污染的像元,估计其局部统计特征并将其引入到双边滤波器中,产生了一种三边滤波器（Trilateral Filter）。文献[13]中,一些类似的思想被用来构建一个相似性准则,并反过来为利用NL-means法进行高斯噪声去除提供一种简单的数学评价标准。文献[15]先利用中值类滤波器进行异常值检测,然后利用K-SVD字典学习算法对无脉冲干扰的图像求解一个l1-l0最小的优化问题;同样,文献[16]也利用中值类滤波器首先去除脉冲噪声,最后引入NL-means法进行残留的高斯噪声的去除操作。虽然上述去噪算法是针对高斯与脉冲混合噪声提出的,并且在某种程度上起到了抑制混合噪声对图像视觉质量产生影响的作用,但部分方法会同时将图像细节纹理信息滤除,不能有效保留图像中规则的几何纹理与结构特征。
近年来,低秩矩阵重建已变成了一个研究热点,并在许多科学与工程领域如网络搜索、机器学习、计算机视觉及图像/视频处理与分析中,表现出了强大的应用潜力。目前,低秩矩阵重建主要涉及矩阵填充[18-19]（Matrix Completion,MC）与稳健主成分分析[20-21,23]（Robust PCA,RPCA）问题,其主要针对具有低秩信息或近似低秩结构的数据矩阵重建的问题,并且能够保证在很大程度上精确恢复原始低秩矩阵信息。值得注意的是,在自然图像与遥感影像中,由于图像冗余性及自相似性,往往在局部存在着许多规则的几何纹理及细节结构特征,这使得影像灰度矩阵呈现出局部低秩特征。鉴此,本文拓展了低秩矩阵重建有关理论与算法,并提出了一种新的混合噪声去噪方法,其能在有效去除高斯与脉冲混合噪声的同时,很好地保留影像中的细节信息及低秩结构特征。

2 低秩矩阵重建理论

低秩矩阵在大规模数据分析与降维处理中扮演着重要的作用,其常被用来逼近一个常规矩阵,或被用于恢复受污染的或缺损的数据,从数学角度来讲,这些实际问题可以归结为低秩矩阵重建理论。目前,低秩矩阵重建理论主要涉及矩阵填充与稳健主成分分析。

2.1 矩阵填充

矩阵填充问题可被简单地描述为：对于一个未知的矩阵 M ∈ R N 1 × N 2 ,若已知其中m个采样矩阵元 { M ij : ( i , j ) ∈ Ω } ,这里Ω为从矩阵M的N1×N2个矩阵元位置中随机采样的一个基数为 m 的矩阵元位置索引集合,由少量元素{Mij}来恢复出整个矩阵M中所有元素的问题即为矩阵填充（MC）。
MC是一个非适定性问题,因为仅由少量的采样元素来完美地重构出原矩阵是不可能的。在没有额外的信息约束下,意味着有无数个填充的矩阵结果。然而,当未知矩阵为低秩或近似低秩时,这就改变了问题的性质,使得精确重构原矩阵有了可能。
Candes和Recht指出[18],即便仅有极少量的采样元素,绝大数低秩矩阵也能够被精确恢复,而且这种恢复可以通过求解下式的凸优化问题达到。
min | | X | | * s . t . X ij = M ij , ( i , j ) ∈ Ω （1）
式（1）中, | | ∙ | | * 表示矩阵的核范数即矩阵奇异值之和;M为部分元素缺失的未知矩阵; X为待填充矩阵M的最优逼近解。设 M ∈ R N × N 且矩阵秩为r,当已知元素的采样数m满足 m ≥ C N 6 5 rlogN （C为正的常数值）时,矩阵M能被完美地恢复。

2.2 稳健主成分分析

对于高维数据处理、分析、压缩和可视化,主成分分析方法在科学工程领域有着广泛的应用[28]。经典PCA的目标就是准确有效地估计给定高维数据矩阵的低维子空间,即最佳的低秩表达（从l2意义上）。估计这个低维子空间的数学模型就是要寻找一个低秩矩阵 Am×n,以使得其与观测数据矩阵 Dm×n之间的差异最小化,这就带来了以下的受约束的最优化问题：
min A , E | E | | F , s . t . rank ( A ) ≤ r , D = A + E （2）
式（2）中, r ≪ min ( m , n ) 为目标子空间的维数; | | ∙ | | F 为Frobenius范数;这里令矩阵E为观测误差矩阵且其元素为服从独立同分布的Gaussian随机变量。
当原始低秩数据矩阵A的观测误差矩阵E是由独立同分布的加性高斯噪声引起时,只要保证噪声的幅度较小,利用PCA方法就能够给出矩阵E的最佳逼近解。然而,在噪声所引起的数据破坏程度较大时,即便受污染的数据元素个数极少,此方法也会失效。
最近,Wright等[21]指出,在相当宽的条件下,这种恢复是可行的：只要误差矩阵E足够稀疏,可通过求解下述的凸优化问题,从D=A+E中精确地恢复低秩矩阵A。
min A , E | A | | * + λ | E | 1 , s . t . D = A + E （3）
式（3）中, ∙ | 1 指矩阵所有元素绝对值之和;λ为正的权重参数。即使在较大误差或异常值存在的情况下,这种最优化方案也具备精确恢复数据中潜在的低秩结构的能力,因此,上述最优化问题被认为是稳健主成分分析（RPCA）。

3 稳健矩阵填充及ASLM算法

3.1 稳健矩阵填充及其优化模型

MC问题可用RPCA的形式表达为：
min A | A | | * , s . t . A + E = D , π Ω ( E ) = 0 （4）
式（4）中, π Ω : R m × n → R m × n 为一个线性算子,其保留集合Ω上的元素值不变而 Ω ̅ 上的元素置为0。由于E将会补偿观测矩阵D中的未知元素,故可将D中未知元素补充为0。利用增广的Lagrange乘数法（Augmented Lagrange Multipliers,ALM）,可将上述优化问题目标函数构造为：
L ( A , E , Y , μ ) = | | A | | * + Y , D - A - E + ( μ / 2 ) | | D - A - E | | F 2 （5）
式（5）中,μ为一个正标量。为了更新E,当最小化目标函数L(A,E,Y,μ)时,应强加一个约束条件 π Ω ( E ) = 0 。
MC解决的是从部分元素数据缺失的低秩矩阵中重构出完整的矩阵数据,其中可利用的已知数据元素未被破坏;而RPCA解决的主要是从存在稀疏误差的观测矩阵中恢复原始低秩矩阵数据。在实际应用中,可能会出现矩阵数据缺损与误差同时存在的情况,即可利用的已知矩阵元素被污染。本文研究正是为解决当原始低秩或近似低秩的数据矩阵中出现数据缺损与数据污染共存时的低秩矩阵重建问题。
对于观测矩阵 D = π Ω ( A * + E * ) ∈ R m × n ,其中有序矩阵对(A*,E*)表示真实解,假设仅仅已知其 Ω ⊂ { 1,2 , ⋯ , m } × { 1,2 , ⋯ , n } 索引子集上的元素,且这些已知的可利用元素中又有部分元素存在较大误差,现在欲重构出原始的低秩矩阵A*。本文称此类问题为稳健矩阵填充（MC from Corrupted Samplings,MCCS）,其目的是从不完整的受污染的采样矩阵元素中恢复原始低秩矩阵。
由于误差矩阵E在集合 Ω ̅ 上的元素起到补偿观测矩阵D中未知元素的作用,而在集合 Ω上的元素为稀疏的,故可以将E拆分成 E = E Ω + E Ω ̅ ,其中, E Ω = π Ω ( E ) , E Ω ̅ = π Ω ̅ ( E ) ,前者为可利用元素的稀疏误差。MCCS问题表达如式（6）所示。
min A , E | A | | * + λ | E Ω | 1 s . t . A + E = D = π Ω ( A * + E * ) （6）
本文针对MCCS问题提出了采用增广分部拉格朗日乘数法（Augmented Subsection Lagrange Multipliers,ASLM）进行低秩矩阵恢复,其最小化的目标函数表达如式（7）所示。
L ( A , E Ω , E Ω ̅ , Y , μ ) = | | A | | * + λ | E Ω | 1 + Y , D - A - E + μ 2 | D - A - E | | F 2 = | | A | | * + λ | E Ω | 1 + Y , D - A - E Ω - E Ω ̅ + μ 2 | D - A - E Ω - E Ω ̅ | | F 2 = | | A | | * + λ | E Ω | 1 + Y Ω , D Ω - A Ω - E Ω + μ 2 | D Ω - A Ω - E Ω | | F 2 + Y Ω ̅ , D Ω ̅ - A Ω ̅ - E Ω ̅ + μ 2 | D Ω ̅ - A Ω ̅ - E Ω ̅ | | F 2 （7）
式中,第2项仅由Ω集合上的稀疏误差所贡献,第3项与第4项中由于 E Ω , E Ω ̅ 互补,故当对这两参数分别求优化解时可忽略另一参数。最后,再将两者的最优解组合成E的最优解,即 E ^ Ω + E ^ Ω ̅ = E ^ 。

3.2 ASLM算法

ASLM算法的MCCS问题求解流程见算法1。文中正则因子取 λ = 1 / sqrt ( p * max ( m , n ) ) , p = | Ω | / ( mn ) ,惩罚因子设为 μ 0 = 0.5 / | | D | | 2 ,迭代终止条件为：
| D - A k - E k | | F | D | | F < ε 1 and μ k - 1 | E k - E k - 1 | | F | D | | F < ε 2 （8）
为方便起见,这里引入下面的软阈值（收缩）算子：
S ε [ x ] = x - ε , if x > ε x + ε , if x < - ε 0 , 其他 （9）
式（9）中,x∈R,ε>0。若此算子的操作对象为向量或矩阵,此时以元素形式依次进行处理。在算法中, J ( D ) = max ( | | D | | 2 , λ - 1 | D | | ∞ ) ,其中, | | ∙ | | ∞ 是矩阵元素绝对值的最大值, | | ∙ | | 2 表示矩阵的最大奇异值。

3.3 ASLM算法性能分析

此部分利用模拟实验进行了算法的相变界线分析,首先揭示信息缺损率（erasure rate）与误差概率（error probability）对算法恢复性能的影响。实验利用2个矩阵乘积LRT生成秩为r的低秩矩阵A*,其中,L,R是独立的m×r大小的矩阵,其元素均为服从独立同分布N(0,1)的高斯随机变量,同时,从矩阵A*中随机选出一定比例元素作为缺损元素,并将其值设为0。然后,在剩余的矩阵元素中再随机选取一定比例的元素作为被破坏的矩阵元素,且对这些位置的矩阵元素添加误差E*。最后,用矩阵D=A*+E*生成实验的观测矩阵。其中,缺损元素的比例 erasure rate = 1 - d Ω , d ( Ω ) = | Ω | / ( m * n ) ,而被破坏矩阵元素的比例,即误差概率 error probability = | E | | 0 / | Ω | 。
图1为针对MCCS问题的ASLM算法的相变界线图。实验固定矩阵维数m=n=512,而对于矩阵的秩则共设计了3种大小,即r=8,16,64,其相变界线分别对应图中的红、绿、蓝3条曲线,在各曲线下方的区域分别对应着此种情况下的重构成功区域。利用此区域中由各点位对应的缺损率与误差概率参数组合构造的模拟数据进行实验,均能够成功重构出原始低秩矩阵,即恢复矩阵 A ^ 满足 | A ^ - A * | | F / | | A * | | F < 0.01 。图1中横坐标为矩阵D中可利用元素的比例即d(Ω),纵坐标为可利用元素中受污染的矩阵元素比例,即error probability。实验表明,在矩阵维数固定的情况下,矩阵的秩越小,则成功区域的面积越大,算法的重构性能越好。实际上,在其他因素不变的情况下,算法的重构性能与rank(A*)/m成反比。同时发现,缺损率与误差概率在一定程度上为一种相互制约的关系：当缺损率较大时,要想精确重构原始低秩矩阵,则可利用元素的出错概率不能太大,反之亦然。
Fig. 1 Phase transition curve of the ASLM algorithm for the MCCS problem

图1 关于MCCS问题的ASLM算法的相变曲线

4 ASLM算法的图像混合噪声去除

4.1 ASLM混合噪声去除策略

考虑到视频中各帧图像之间呈现的强相关性与低秩性,Ji等[25]成功地利用矩阵填充进行了鲁棒视频去噪的工作,并提出了基于矩阵低秩稀疏分解的鲁棒视频恢复算法,将之用于视频去噪和修补上。由于图像的自相似性和冗余性,自然图像与遥感影像的局部通常也会呈现出较规则的几何纹理与相似结构信息,这使得影像具备局部低秩特征,进而为低秩矩阵重建理论在图像处理中的应用提供了保障。同时,在图像获取与传输过程中,影像中往往会出现受各种噪声污染的情况,而其中突出的表现又是脉冲噪声和高斯随机噪声的混合。本文的MCCS问题的处理方案,可为此类混合噪声的去除提供一种强有力的解决手段。
采用2步法的策略来进行混合噪声去除的步骤为：（1）探测出含噪影像中的脉冲噪声作为缺损矩阵元,并将无脉冲干扰的影像矩阵元作为有效采样元;（2）将包含于采样矩阵元中的高斯噪声作为任意大的稀疏误差;（3）利用ASLM算法来重建含有局部低秩或近似低秩特征的影像矩阵,以达到去除影像混合噪声的目的。
本文设计了一种新型的脉冲探测器来进行椒盐噪声的探测方法,即“灰度阈值采样法”结合“中值试探采样法”。灰度阈值法,即设置阈值a,并将灰度值处于区间[255-α,255]或[0,α]的像元作为候选噪声点;中值试探法,即将邻域窗口像元灰度中值与当前候选噪声点灰度差值的绝对值大于规定阈值β的当前像元视为噪声点。一般从经验上来说,当椒盐噪声的密度较大（噪声水平较高）时,中值试探法的邻域窗口尺寸也应该较大,这样可提高脉冲探测的准确度。

4.2 混合噪声去除实验及分析

实验选择了TVL1法,以及近年来较先进的混合噪声去除方法（文献[12]、[16]）做对比,并将对比结果以视觉效果图与统计指标表的形式给出。为了评价图像恢复结果的质量,本文选用了峰值信噪比（PSNR）与结构相似度（SSIM）来分别进行客观评价与主观视觉效果评价。
文中首先选择具备典型低秩特性的图像进行实验,下面针对纹理特征较为规则且丰富的Barbara图像进行混合噪声去除,并给出了不同高斯噪声与椒盐噪声参数组合(p,σ)下的统计指标对比（表1）,及p=0.1,σ=5/255时的视觉结果图（图2）。实验中所有方法的参数已经过调整,以产生最好的结果用以对比。图2、表1中的结果反映出本文方法在较好地抑制混合噪声的同时,对纹理细节信息也能够较完美地保留,这主要是由于ASLM算法充分利用了规则几何纹理特征的低秩性,并且其最优化模型式（6）也利用核范数最小化来表现这种低秩性,进而使得所重构出的影像能够完美地再现纹理特征。结果表明,本文所提出的方法更适合于高斯噪声相对较小情况下的低秩影像中混合噪声的去除,而这种现象也主要取决于较大误差的稀疏程度;当高斯噪声相对较小时,可利用矩阵元中存在较大误差的矩阵元因数量较少而呈现出稀疏性,这样就使得混合去噪问题更符合本文所构建的MCCS模型,进而更能保证重构结果的可靠性与准确性。
Tab. 1 Comparisons of statistical indices under different (p,σ) on Barbara image with the removal of mixed noise

表1 混合噪声去除统计指标-Barbara

(p,σ) 统计指标 含噪影像 TVL1法去噪 Xiong and Yin法去噪 三边滤波法去噪 MCCS-ASLM法
0.1,5255 PSNR(dB) 15.132 20.077 26.472 21.528 27.163
SSIM 0.956 0.940 0.984 0.962 0.986
0.2,5255 PSNR(dB) 12.184 19.702 25.713 19.712 26.386
SSIM 0.913 0.934 0.981 0.949 0.982
0.3,5255 PSNR(dB) 10.407 18.214 24.688 17.652 25.287
SSIM 0.870 0.915 0.976 0.933 0.977
0.1,15255 PSNR(dB) 14.910 20.070 25.892 20.726 25.385
SSIM 0.938 0.941 0.978 0.954 0.975
0.2,15255 PSNR(dB) 12.044 19.603 25.280 19.432 25.067
SSIM 0.896 0.934 0.976 0.945 0.973
0.3,15255 PSNR(dB) 10.349 18.722 24.256 16.838 24.182
SSIM 0.855 0.923 0.971 0.928 0.970
Fig. 2 Comparison of visual effects of noise removal on Barbara image with mixed Gaussian-impulse noise when p =0.1,σ =5/255

图2 椒盐与高斯混合噪声去除的视觉效果对比-Barbara (0.1,5/255)

为了更好地证实ASLM算法在图像混合噪声去除方面的优势,本文进一步给出了一幅遥感低秩影像中混合噪声去除的实验（图3、表2）。结果表明,ASLM算法在去除高斯-椒盐混合噪声的同时,能够有效保留边缘细节与纹理等特征信息;此法更适合于椒盐噪声密度较高而高斯噪声相对较小情况下的低秩影像中混合噪声的去除。从表2可看出,当高斯噪声较小时,随着椒盐噪声水平的增加,其他方法与ASLM去噪法的差距越来愈大;而当高斯噪声较大时,随着椒盐噪声密度的增大,ASLM法与其他方法的差距在缩小,甚至呈现超越其他方法的趋势。这表明,ASLM混合噪声去除法对于脉冲类噪声表现出更稳定的性能,而对高斯噪声则比较敏感。
Fig. 3 Comparison of visual effects of noise removal on RS image with mixed Gaussian-impulse noise when p=0.2,σ=5/255

图3 椒盐与高斯混合噪声去除的视觉效果对比-RS image(0.2,5/255)

Tab. 2 Comparisons of statistical indices under different (p,σ) on RS image with the removal of mixed noise

表2 混合噪声去除统计指标-RS image

(p,σ) 统计指标 含噪影像 TVL1法去噪 Xiong and Yin法去噪 三边滤波法去噪 MCCS-ASLM法
0.1,5255 PSNR(dB) 15.620 26.444 36.079 33.976 36.246
SSIM 0.954 0.972 0.996 0.994 0.996
0.2,5255 PSNR(dB) 12.509 24.635 34.918 30.145 35.170
SSIM 0.910 0.957 0.995 0.989 0.995
0.3,5255 PSNR(dB) 10.691 23.340 33.037 27.797 33.691
SSIM 0.861 0.945 0.992 0.983 0.993
0.1,15255 PSNR(dB) 15.144 25.980 31.581 29.618 28.385
SSIM 0.932 0.966 0.989 0.985 0.981
0.2,15255 PSNR(dB) 12.393 24.405 30.978 27.657 27.943
SSIM 0.892 0.955 0.988 0.981 0.980
0.3,15255 PSNR(dB) 10.739 23.039 30.168 26.382 27.481
SSIM 0.851 0.941 0.987 0.976 0.979
以上实验主要涉及具备明显低秩特征的影像,即影像拥有相似的结构和规则的纹理特征,而现实世界中,绝大多数的影像并不能呈现出全局低秩特征的性质。然而,由于影像的自相似性与空间相关性,影像中绝大多数的局部区域特征相似,满足低秩或近似低秩条件。因此,可利用分块处理的ASLM算法来进行影像去噪。下面的实验展示了对Boat图像进行混合高斯与脉冲噪声去除的效果,同时给出了三边滤波法的结果作为对比。含噪影像的大小为512×512像元,其被分成若干个大小为16×16像元的无重叠影像块进行分块去噪,ASLM法的去噪结果则在图4(d)中给出。图4（b）-（d）的PSNR（dB）与SSIM值分别为(10.696,0.909),(23.737,0.973),(27.192,0.985)。与Trilateral滤波的结果相比,其所提出的ASLM算法具有良好的混合噪声去除性能。同时发现,在图4(c)中,船上很多桅杆的结构信息被丢失掉。
图5给出了对一幅遥感城区影像进行混合高斯与脉冲噪声去除的对比结果,实验中对原始影像依次添加了标准差为5/255的高斯噪声与密度为0.2的椒盐噪声。其中,图5（b）-（d）的PSNR（dB）与SSIM值分别为(11.879,0.857),(28.192,0.989),(29.915,0.991)。从图5（c）可看出,三边滤波法并未彻底地去除影像中的噪声,且统计指标也反映出此法的去噪性能要逊色于本文所提的去噪策略。为了更好地验证本文方法的有效性,选取了一幅真实含噪的遥感影像并进行去噪实验（图6）。由图6（d）可知,本文方法在滤除噪声的同时,能保持图像中的结构与纹理信息的完整性与连续性。
Fig. 4 Comparative results of noise removal on Boat image with p=0.3,σ=5/255

图4 Boat图像去噪结果对比(p=0.3,σ=5/255)

Fig. 5 Comparative results of the removal of mixed noise on urban image with p=0.2,σ=5/255

图5 遥感城区影像混合去噪结果对比(p=0.2,σ=5/255)

Fig. 6 Comparative results of different denoising methods on real RS image

图6 真实遥感影像去噪结果对比

5 总结

本文针对从非完全且受污染的采样矩阵元中精确恢复原始低秩矩阵的问题,构造了相应的凸优化模型,并提出了一种ASLM算法来求解此类最优化问题。此问题可以看做是RPCA及MC问题的综合,并延拓了低秩矩阵重建理论。算法性能分析实验和图像混合噪声去除实验表明了此算法的可靠性和实用性,其在去除低秩影像中混合噪声的同时,能有效恢复图像中的纹理细节信息,保持图像结构的连贯性。凭借新颖的理念和特殊的优势,其在数据挖掘、机器学习、图像处理、遥感信息处理及地学时空相关数据重建等领域,将会有更大的应用价值。

The authors have declared that no competing interests exist.

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