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Journal of Geo-information Science >

2015 , Vol. 17 >Issue 7: 804 - 809

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2015.00804

Orginal Article

The Accuracy Control in the Process of Vector Line Data Drawing in the Hexagon Discrete Global Grid System

  • YU Wenshuai , 1 ,
  • TONG Xiaochong , 2, 3, * ,
  • BEN Jin 2 ,
  • XIE Jinhua 4
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  • 1. Department of Hydrography and Cartography, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China
  • 2. Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450052, China
  • 3. Academy of Disaster Reduction and Emergency Management, Ministry of Civil Affairs, Ministry of Education (Beijing Normal University), Beijing 100875, China
  • 4. Satellite Surveying and Mapping Applications Center, Beijing 100000, China;
*Corresponding author: TONG Xiaochong, E-mail:

Received date: 2014-12-31

  Request revised date: 2015-03-26

  Online published: 2015-07-08

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《地球信息科学学报》编辑部 所有
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Abstract

The Discrete Global Grid System (DGGS) is a new type of global spatial data model and is the extension of the plane grid on a sphere. Hexagon is usually used in the construction of DGGS for its advantageous geometric structure. Since sphere is unextended, in the process of plane grid mapping, the distance and direction of the grid will change greatly. As a result, the accuracy of drawing vector data in the global grid cannot be guaranteed. This has been a critical choke point for the display of vector data in DGGS and has directly restricted the establishment of spatial measurement relationship on a spherical grid. In order to solve the drawing problems of vector line data in hexagon DGGS, this paper has studied the distortion regularity that the plane-sphere mapping process affects the linear direction, and control the accuracy of vector line data grid transformation. As a result, the vector drawing method on a plane grid can also be adopted to deal with high-accuracy drawing on a spherical grid, and it guarantees that the spherical grid drawing errors of the vector data can be controlled strictly in one cell of the current layer´s grid. This paper also lays the theoretical foundation for high-accuracy display of grid transformation data and the establishment of spherical grid spatial measurement.

Key words： discrete global grid system; hexagon; accuracy control; vector drawing; polyhedral projection

Cite this article

YU Wenshuai , TONG Xiaochong , BEN Jin , XIE Jinhua . The Accuracy Control in the Process of Vector Line Data Drawing in the Hexagon Discrete Global Grid System[J]. Journal of Geo-information Science, 2015 , 17(7) : 804 -809 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2015.00804

1引言

全球离散格网系统（Discrete Global Grid System,DGGS）是一种新型的地球空间数据模型。它将地球球面用不同层次的均匀粒度格网进行划分,形成无缝无叠的多分辨率格网层次结构,并采用格网单元的地址编码代替传统地理坐标参与数据操作[1-2]。全球离散格网模型是传统平面格网在球面上新的扩展,特别是近年发展起来的多面体剖分的全球离散格网,受到学术界的广泛关注[3-6]。在3种能够进行规则化空间剖分的几何格网图形（三角形、四边形、六边形）中,六边形格网最紧凑,且各向同性,这些优良的空间属性使其非常适合于空间数据的建模和处理,并受到越来越多的关注[7-10]。本文基于六边形的全球离散格网系统开展研究。
在全球离散格网数据的绘制过程中,矢量的绘制是一个比较困难的问题,因为格网是一种离散形式的空间表达,而矢量是连续形式的空间表达,二者本质上存在区别。这种剥离关系,导致矢量与格网的叠加显示较困难,并无法发挥格网同构化使用空间数据的能力。一种有效的解决方法是将矢量数据格网化,以线对象为例,在表达过程中,线对象中的每一个坐标点对应的格网单元都将被激活,因此,对于离散格网空间的线实体表达,同样也需要用直线段的方式激活任意2个节点单元间的连接单元,形成连续的线条。
该填充方式类似计算机图形学中的光栅扫描过程[11],对于平面格网（无论是三角形、矩形还是六边形）的填充都不存在过多问题。但是,将平面格网扩展到球面后,由于多面体的全球离散格网的生成,是多面体代替球面的方法,以平代曲使得二者之间存在相对误差。多面体表面的格网在方向和距离是准确的,但将多面体映射到球面的过程中无法做到处处相等,导致球面格网上方向和长度发生变化,距离越远,差距越大（图1）。本文针对全球六边形离散格网矢量数据的准确生成与 精度控制,开展相关实验研究并给出具体方法与结论。
Fig. 1 The deformation of vector line between spherical grid and plane grid

图1 球面平面差异带来的格网矢量线变形

2球面格网矢量生成的精度控制思路

球面上大区域绘制的矢量数据（球面2点间的大弧）需进行分段处理。采用格网来表达直线段矢量数据的过程中,任意2个相邻单元之间的距离不宜过大,需限定在球面一定范围内,以保证数据表达的精度。对于球面矢量数据跨度较大的相邻节点,需在内插多个控制节点,将球面线段剖分成多条满足格网表达精度的局部线段,满足数据表达精度并为格网上的数据量算提供可靠基础。当然,大部分的矢量数据较少在球面大范围区域上出现连接2点间的大弧,毕竟在实际地物中,很少存在绝对的直线,矢量数据常用分段的折线来逼近实际地物。根据这样的分析,折线中任意2节点间的距离大小将是格网分段表达的基础。
球面离散格网上的直线,其表达误差和传统矢量表达误差具有本质差异。格网系统的不同尺度空间可认为是数学中的有效数字位,在数学上超出有效数字的精度没有意义。因此,在格网空间表达的过程中,充分利用这一点保证表达的差异,在一个格网单元之内时,可认为平面和球面是一致的,这是一种较方便的设计。对于保证格网矢量的差异,在一个格网单元之内这个问题,直接相关的是平面到球面的投影变形问题。由于球面的不可展性,不存在一种投影方式能保证各个方向的平面直线在球面上仍是相应的球面大弧,并且距离和方向上能保持一致。因此,不同的投影转换方式由于变形的差异,其表达直线时的误差结果也不同。
以理想二十面体剖分的六边形全球离散格网（六边形剖分方式为孔径4剖分（4HI）[12-13]）为例,考虑球面理想二十面体一个三角面上的情况。如图2所示,4HI的剖分结构,按照格网排列的顺序有3个直线的方向,分别用a、b、c来表示。采用填充方式在格网上显示的任意离散直线,都由若干段这3个方向的直线组成。因此,分析这3个方向上直线的变形情况是球面格网上直线变形的重要基础。
Fig. 2 Three directions of lines arranged by hexagon grids on icosahedron triangular facet

图2 二十面体三角面上格网排列成直线的3个方向

研究球面离散格网上a、b、c 3个方向的变形,实质上是研究采用投影变换前后,平面上3个方向的直线在球面上的误差。由于球面上的大弧被认为是球面直线,因此,平面直线转换到球面后,与相应大弧之间的误差可作为衡量球面直线变形的 依据。
利用数值内插的方式评价直线变形的情况,该数值方法较解析法更加直观,对于投影方程不明确的情况（如数值投影变换）将更有效。具体过程 如下：
（1）分别在平面三角形 a 、 b 、 c 3个方向上,等距选择 x i , j y i , j 条线段,其中 i = 1,2 , ⋯ , j = a , b , c ,线段的端点皆落在三角形的边上;
（2）在线段 x i , j y i , j 上内插一系列控制点 P 1 , P 2 , ⋯ , P k ,并利用投影变换的方式将 P 1 - P k 转换成球面点 P S 1 , P S 2 , ⋯ , P S k ;
（3）将线段的端点利用投影变换的方式转换成球面点 X i , j 和 Y i , j ,形成球面大弧 X i , j Y i , j ⌢ ;
（4）计算每一个球面点 P S m , m = 1 - k 到大弧 X i , j Y i , j ⌢ 的球面距离 Δ h m , i , j ,利用式（1）分别计算 Δ h max , i , j 和 Δ h i , j ¯ 。
Δ h max , i , j = max m = 1 ~ k Δ h m , i , j Δ h i , j ¯ = 1 k ∑ m = 1 k Δ h m , i , j （1）
Δ h max , i , j 和 Δ h i , j ¯ 能客观地评价某一种投影系统对平面直线的扭曲情况。这2个值越大,说明该投影造成的直线变形越大,如图3所示。根据这2个指标也能对球面格网的直线表达进行评价, Δ h i , j ¯ 是在直线 x i , j y i , j 方向与球面大弧平均的偏离程度, Δ h max , i , j 是最大的偏离程度。对于任意层次 n 的球面离散格网系统,如果单元的平均半径 D n 大于3个方向上最大偏离程度 Δ h max , i , j ,则在该层次的球面离散格网上（一个三角面内）按照平面格网的方式生成直线将不存在误差（或误差小于一个单元）。
Fig. 3 The approach of calculating spherical line distortion using projection method

图3 利用投影法计算球面直线变形的方式

3线数据绘制精度控制与应用实例分析

3.1 精度控制分析

图4是采用Snyder等积投影[14]（该投影方式在球面六边形离散网格的构建中使用较多[2-3,7-8,15]）得到的 Δ h m , i , j 、 Δ h max , i , j 和 Δ h i , j ¯ ,由于Snyder投影关于三角面3条中轴线对称,因此只考虑 a 方向的情况。
图4中的Snyder投影变换在一个三角面内,带来直线最大的变形误差为290.529 km,平均变形误差为189.801 km。与表1中的数据进行比对,保守的做法是在第4层的离散格网上,矢量数据不需要内插,直接生成直线;折中的做法是在第5层的离散格网上,矢量数据不需内插,直接生成直线。
Fig. 4 The contorted situation of spherical line using Snyder projection

图4 利用Snyder投影法计算球面直线的变形

对于4HI剖分的第 n 层球面离散格网系统,共有 45 ∙ 2 2 n - 3 + 2 个单元。表1统计了剖分层次为n的离散格网中单元面积为 H n （球面面积,等积投影）、单元平均半径 D n （球面离散格网每一个单元等积球冠的半径[15]）和单元的平均曲率误差 h n （球面单元由地球曲率引起的平面与球面之间的逼近误差[16]）,地球球体半径取6 371 007.22347 m[17]。
Tab. 1 The average area, average radius and average curvature error of cells on discrete global grid

表1

层数 面积（km2） 平均半径（km） 平均曲率误差（m）
2 5 544 191.6145 1460.8081 169 735.3625
3 1 409 021.0733 736.4323 42 705.6680
4 353 720.9629 368.9814 10 693.8838
5 88 522.3236 184.5867 2674.5702
6 22 136.3436 92.3054 668.7114
7 5534.4462 46.1542 167.1821
8 1383.6341 23.0773 41.7958
9 345.9099 11.5387 10.4490
10 86.4776 5.7693 2.6122
11 21.6194 2.8847 0.6531
12 5.4048 1.4423 0.1633
13 1.3512 0.7212 0.0408
14 0.3378 0.3606 0.0102
…… …… …… ……
在第 4 层格网的一个三角面内,可满足直线直接生成的需求。在该层格网中,直线最长不超过 3 × 2 4 - 2 = 12 个单元（4HI格网在二十面体上封闭排列,每个三角面上按一个方向排列最大单元数目[12-13,15]）。在第 5 层格网的一个三角面上,最长的排列单元为 3 × 2 5 - 2 = 24 个。由于直线投影变形永远不会改变,且4HI格网结构的孔径为4,平均半径为第4层单元的1/2,则第5层格网中能准确表达的直线不超过 24 / 2 = 12 个单元（用 a 、 b 、 c 3 个方向中的一种排列方式,图1是直线用 a 方向排列了13个单元的结果）。依此类推,对第 n 层的格网,一个三角面上最长的排列单元为 3 × 2 n - 2 个,其单元平均半径为第4层平均半径的 1 / 2 n - 4 = 2 4 - n ,则第 n 层格网上可用表达的最长直线不超过 3 × 2 n - 2 × 2 4 - n = 12 个单元（用 a 、 b 、 c 3 个方向中的一种排列方式）。
上述策略是最大投影变形的约束下最保守的直线生成方法。实际上,对于大部分应用,直线投影的平均误差对应的格网层次就可生成准确的格网直线。采用地图投影变换的方式,平均变形误差不超过第5层单元,按照上述分析,第 n 层的格网上,用不超过 3 × 2 5 - 2 = 24 个单元可准确地表达直线。
据表1,当离散格网的剖分层次 n > 10 时,由于地球面曲率带来的平均曲率误差 < 2.6122 m,可认为是在一个平面内,格网的剖分将不再采用投影的方式生成,而是采用平面单元直接剖分的方式得到。这样,当矢量数据的2个节点皆落在同一个离散格网单元中时,直接进行格网直线生成将不考虑由于地球曲率带来的误差。综上所述,令球面二十面体一个三角面内任意2点 S 1 、 S 2 的球面距离为 d s ,2点间的格网直线生成应遵循以下规则：
（1）当格网剖分层次 n ≤ 5 时,将三角面作为平面,可直接进行格网直线生成;
（2）当格网剖分层次 n > 5 ,且直线2端点间的距离 d s > 2 ∙ D 10 = 11.5386 km时,内插节点的判断准则与方法：当 d s / 2 D n > 24 时, d s = d s / 2 ,对球面大弧 S 1 S 2 ⌢ 进行两等分取中点,内插新的节点; ⋯ ;循环调用上述步骤,直至 d s / 2 D n ≤ 24 时,内插节点结束;
（3）当直线2端点间距离 d s ≤ 2 ∙ D 10 = 11.5386 km 时,认为直线在 n > 10 层的一个单元内,作为平面格网可直接生成格网直线。
根据上述的规则,只有满足情况（2）中 d s / 2 ∙ D n > 24 时,才需在生成直线的过程中进行格网的内插,以保证将矢量直线的误差限制在当前层次的一个单元以内。实际使用的矢量数据,往往是由若干节点间的折线构成,任意2个节点间的距离并不一定都满足情况（2）中的内插条件,故不必每条均内插。

3.2 精度控制的应用实例

实例1是一个特例——经纬网。经纬网中经线是球面大弧,并且范围跨越整个球面,只用3个节点进行控制,因此,必须采用内插的方式才能保证直线的精度（生成的格网直线是球面大弧）。图5（a）中,对于第7层的格网,生成了36条经线,根据计算共内插了289个控制点,平均每条经线需内插8.0278个;纬圈（除赤道外）不是球面大弧,本身就需要提供球面纬线控制点数据,并不满足条件（2）中的距离约束,故不需进行内插处理。图5（b）为第9层的经纬网,共需内插1121个控制点,平均每条经线需要内插31.1389个控制点。
实例2是全国县级行政区划的矢量边界数据,数据量17.3 MB。在真实采集的矢量数据中,由于往往是相邻比较近的范围就会采集一个矢量节点,大部分生成过程中,2个节点间的距离并不能一定都满足情况（2）中的内插条件,故不必逐个矢量节点间都内插（图5（c）、（d）是第12、13层的矢量生成效果）。根据统计,该数据在全国范围内平均0.3768 km采样一个矢量节点（其中,西部采样较稀,东部采样较密,最大节点间采样距离86.116 km,在新疆维吾尔族自治区尉犁县和且末县交界处;最小节点间采样距离0.1533 km,在东部海岛）。据表1分析,当前层次的格网平均半径1.4423341 km（12层）和0.72116705（13层）时,大部分节点是不需内插的,即不满足情况（2）,根据对全国范围县级的行政区划矢量的计算,第12层共需内插28个控制节点,第13层共需内插47个控制节点。
Fig. 5 The generation effect of vector data on the hexagonal discrete global grid system

图5 全球六边形离散格网上矢量数据的生成效果

据实验数据分析认为,全国县级行政区划的矢量边界（共1 123 943个矢量节点）在12层DGGS上需多内插28个控制节点,在13层DGGS上需多内插47个控制节点。依此类推,随着层级的增加,越来越接近平面,其增长幅度越来越小,可被接受。

4结论

本文针对全球六边形离散格网上矢量线数据的绘制问题,研究平面-球面映射过程对直线方向影响的统计变化规律,对矢量线数据的格网化表达进行了精度控制,使得平面格网上的矢量绘制方法也能在球面格网上进行高精度的绘制,并能保证矢量数据的球面格网绘制误差严格控制在当前层次格网的一个单元内[18]。根据对典型真实矢量数据的实验发现,该精度控制方法所需内插的控制节点数目,在完全可接受的范围内。同样,矢量面数据绘制过程中的精度控制也可在该方法的基础上进一步拓展。
该方法不但适用于六边形格网上的矢量绘制精度控制,同样也适用于三角形格网与四边形格网分析,其核心是寻找到格网上直线方向的变化规律,并给出内插控制点的策略与方法。该方法的研究不但有助于矢量数据的高精度球面格网化绘制,同样也有望为球面离散格网上空间几何度量的建立提供数学基础。

The authors have declared that no competing interests exist.

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