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Journal of Geo-information Science >

2015 , Vol. 17 >Issue 12: 1506 - 1510

DOI: https://doi.org/10.3724/SP.J.1047.2015.01506

Orginal Article

The Analysis of Adjacent Epoch Error Related Robust Kalman Filtering Algorithm

  • WANG Ren , 1 ,
  • ZHAO Changsheng , 1, * ,
  • ZHANG Min 1 ,
  • SUN Peng 1 ,
  • DU Xijian 2
Expand
  • 1. School of Geodesy and Geometrics, Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116, China
  • 2. College of Geology Engineering and Geomatic, Chang'an University, Xi'an 710054, China
*Corresponding author: ZHAO Changsheng, E-mail:

Received date: 2015-03-30

  Request revised date: 2015-07-02

  Online published: 2015-12-20

Copyright

《地球信息科学学报》编辑部 所有
Fold

Abstract

According to the Kalman filtering theory and robust theory, we derived the model of adjacent epoch error related robust Kalman filtering algorithm. This model has a good robustness for observations containing gross errors. Through the analysis of deformation monitoring data containing gross errors and compare it to the model of adjacent epochs error related Kalman filtering algorithm, it can be concluded that using the proposed robust Kalman filtering model in data processing, regardless of whether or not there are gross errors in the observation values, the results of deformation analysis are consistent with the actual situation, which is not sensitive to the impact of gross error. And during the analysis of deformation monitoring data, we found that when the Kalman filtering method is used to estimate the state vector, it does not store a large amount of historical data, but takes use of the new observational data, through the continuous prediction and correction to estimate the new state of the system.

Key words： adjacent epoch; error correlation; state error; observation error; robust Kalman filtering

Cite this article

WANG Ren , ZHAO Changsheng , ZHANG Min , SUN Peng , DU Xijian . The Analysis of Adjacent Epoch Error Related Robust Kalman Filtering Algorithm[J]. Journal of Geo-information Science, 2015 , 17(12) : 1506 -1510 . DOI: 10.3724/SP.J.1047.2015.01506

1 前言

卡尔曼滤波理论可有效处理动态系统的数据,随着时间的推移状态向量通过观测向量渐变。但标准卡尔曼滤波理论动态系统噪声和观测噪声要求为零平均值白噪声,在运用中难以满足这一要求,从而使滤波结果发散。目前许多方法已被提出来克服这一缺陷,如抗差滤波方法[1]、粗差探测方法[2]等。近年来,研究人员提出使用自适应Kalman滤波因子抑制扰动异常对状态估值的影响[3-4],并已在导航和定轨中得到很好的应用[5]。本文研究假设的相邻历元误差相关包括3种情况：相邻历元状态误差相关、观测误差不相关;状态误差不相关、观测误差相关;状态误差和观测误差均相关。相邻历元误差相关的卡尔曼滤波称为有色噪声滤波,本文对此算法进行了应用案例分析。

2 抗差卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波的状态方程和观测方程如式(1)-(2)。
X k = Φ k , k - 1 X k - 1 + Ω k （1）
L k = B k X k + Δ k （2）
式中, X k 是 t k 时刻状态向量; L k 是观测向量; Φ k , k - 1 为状态转移矩阵; B k 为观测设计矩阵; Ω k 和 Δ k 分别称为状态误差和观测误差。
（1）相邻历元观测误差相关的抗差卡尔曼滤波
设相邻时刻 t k - 1 、 t k 和 t k + 1 的动态噪声 Ω k - 1 、 Ω k 和 Ω k + 1 互相独立,动态噪声 Ω k 和观测噪声 Δ k 互不相关。但 t k 时刻观测噪声 Δ k 与相邻时刻的观测噪声 Δ k - 1 , Δ k + 1 相关,不相邻时刻的观测噪声 Δ k - 1 和 Δ k + 1 互不相关,即 Δ k - 1 、 Δ k 和 Δ k + 1 的协方差阵（式（3））为：
D Δ k - 1 , k - 1 D Δ k - 1 , k 0 D Δ k , k - 1 D Δ k , k D Δ k , k + 1 0 D Δ k + 1 , k D Δ k + 1 , k + 1 （3）
设 Ω k - 1 为高斯白噪声序列, Δ k 为有色噪声序列。观测 k - 1 次可得 X ^ k - 1 的预估值,第 k 次滤波的预估值为 X ̅ k = Φ k , k - 1 X ^ k - 1 ,其协方差为 D X ̅ k = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k 。由于 Δ k 为有色噪声序列,使得 X ̅ k 与 Δ k 相关,其协方差（式（4））为：
D X ̅ k Δ k = E ( X ̅ k Δ k T ) = Φ k , k - 1 E ( X ^ k - 1 Δ k T ) （4）
因为,
X ^ k - 1 = X ̅ k - 1 + J k - 1 ( L k - 1 - B k - 1 X ̅ k - 1 )
  = ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 L k - 1   = ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 ( B k - 1 X ˜ k - 1 + Δ k - 1 ) （5）
根据协方差传播律,得到：
D X ^ k - 1 Δ k = E ( X ^ k - 1 Δ k T ) = J k - 1 0 D Δ k - 1 D Δ k - 1 , k D Δ k , k - 1 D Δ k 0 I = J k - 1 D Δ k - 1 , k （6）
因此,
D X ̅ k Δ k = Φ k , k - 1 E ( X ^ k - 1 Δ k T ) = Φ k , k - 1 J k - 1 D Δ k - 1 , k （7）
相邻历元观测噪声相关情况下,第 k 历元函数模型（式（8））和随机模型（式（9））分别为：
V X ̅ k = X ^ k - X ̅ k V k = B k X ^ k - L k （8）
D X ̅ k D X ̅ k Δ k D Δ k X ̅ k D Δ k = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k Φ k , k - 1 J k - 1 D Δ k - 1 , k D Δ k , k - 1 J k - 1 T Φ k , k - 1 T D Δ k （9）
相邻历元观测噪声相关情况下第 k 历元状态估值（式（10））为：
X ^ k = X ̅ k + ( D X ̅ k B k T + D X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k + B k D X ̅ k + D X ̅ k B k T ) - 1 ( L k - B k X ̅ k ) （10）
令：
J k = ( D X ̅ k B k T + D X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k + B k D X ̅ k + D X ̅ k B k T ) - 1 （11）
第 k 次滤波值（式（12））为：
X ^ k = X ̅ k + J k ( L k - B k X ̅ k ) （12）
第 k 次滤波值的协方差（式（13））为：
D X ^ k = D X ̅ k - J k ( B k T D X ̅ k + D Δ k X ̅ k ) （13）
如果观测向量存在粗差,其抗差卡尔曼滤波迭代公式为式（14）。
X ^ k ( t ) = X ̅ k + J k ( t - 1 ) ( L k - B k X ̅ k ) （14）
式中,
J ̅ k ( t - 1 ) = ( D X ̅ k B k T + D ̅ X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D ̅ Δ k ( t - 1 ) + B k D ̅ X ̅ k Δ k + D ̅ Δ k X ̅ k B k T ) - 1 （15）
其中, D ̅ X ̅ k Δ k 按式（16）计算：
D ̅ X ̅ k Δ k = Φ k , k - 1 J ̅ k - 1 D Δ k - 1 , k （16）
由于有色噪声的观测值相关,则可采用双因子等价协方差矩阵。等价协方差阵 D ̅ Δ k 可构造为式（17）。
D ̅ Δ k ii = λ ii D Δ k ii D ̅ Δ k ij = λ ij D Δ k ij λ ij = λ ii λ jj （17）
式中, λ ii 称为抗差因子,可按式（18）计算。
λ ii = 1 k 0 | V ˜ k i | k 1 - | V ˜ k i | k 1 - k 0 0 k 0 < | V ˜ k i | ≤ k 0 | V ˜ k i | ≤ k 1 | V ˜ k i | > k 1 （18）
式中, k 0 和 k 1 为抗差阈值,一般分别取为1.5-2.0和3.0-8.5; V ˜ k 为标准化残差。
（2）相邻历元状态误差相关的抗差卡尔曼滤波
设系统 t k 时刻的观测误差 Δ k 与相邻时刻 t k - 1 和 t k + 1 的观测误差 Δ k - 1 和 Δ k + 1 互相独立,动态噪声 Ω k 和观测噪声 Δ k 互不相关。但 t k 时刻动态误差 Ω k 与相邻时刻 t k - 1 和 t k + 1 的动态误差 Ω k - 1 、 Ω k + 1 相关,不相邻时刻的动态误差 Ω k - 1 、 Ω k + 1 互不相关,即 Ω k - 1 、 Ω k 和 Ω k + 1 的协方差阵（式（19））为：
D Ω k - 1 , k - 1 D Ω k - 1 , k 0 D Ω k , k - 1 D Ω k , k D Ω k , k + 1 0 D Ω k + 1 , k D Ω k + 1 , k + 1 （19）
卡尔曼滤波先需计算状态预报值 X ̅ k （式（20））及其协方差矩阵（（式21））：
X ̅ k = Φ k , k - 1 X ^ k - 1 （20）
D X ̅ k = Φ k , k - 1 I D X ^ k - 1 D X ^ k - 1 Ω k D Ω k X ^ k - 1 D Ω k Φ k , k - 1 T I   = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Ω k + D Ω k （21）
式中, D X ^ k - 1 Ω k = D Ω k X ^ k - 1 T 是由于 D Ω k - 1 Ω k ≠ 0 造成的 X ^ k - 1 与 Ω k 的协方差 D X ^ k - 1 Ω k ≠ 0 。由于
X ^ k - 1 = X ̅ k - 1 + J k - 1 ( L k - 1 - B k - 1 X ̅ k - 1 )   = ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 L k - 1   = ( I - J k - 1 B k - 1 ) ( X ˜ k - 1 - Ω k - 1 ) + J k - 1 L k - 1 （22）
则有
D X ^ k - 1 Ω k = ( I - J k - 1 B k - 1 0 ) D Ω k - 1 D Ω k - 1 , k D Ω k , k - 1 D Ω k 0 I = ( I - J k - 1 B k - 1 ) D Ω k - 1 k （23）
将式（23）代入式（21）计算 D X ̅ k ,并用 X ̅ k 、 D X ̅ k 计算 X ^ k 和 D X ^ k 。从而导出有色噪声作用下,卡尔曼滤波的递推公式为（式（24）-（25））：
X ^ k = X ̅ k + J k ( L k - B k X ̅ k ) （24）
D X ^ k = D X ̅ k - J k B k D X ̅ k = ( I - J k B k ) D X ̅ k （25）
式中, X ^ k 是动态系统根据状态方程进行的一步预估值; J k ( L k - B k X ̅ k ) 是新观测值对一步预估值 X ̅ k 的修正值, J k 称为增益矩阵,其计算式为式（26）：
J k = D X ̅ k B k T ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k ) - 1 （26）
如果状态向量存在粗差,其抗差卡尔曼滤波迭代公式为式（27）：
X ^ k ( t ) = X ̅ k + J ~ k ( t - 1 ) ( L k - B k X ̅ k ) （27）
其中,
J ~ k ( t - 1 ) = D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) B k T ( B k D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) B k T + D Δ k ) - 1 （28）
D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) 按式（21）得
D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) = Φ k , k - 1   - I D X ^ k - 1 D ̅ X ^ k - 1 Ω k - 1 ( t - 1 ) D ̅ Ω k - 1 X ^ k - 1 ( t - 1 ) D ̅ Ω k - 1 t Φ k , k - 1 T - I = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D ̅ Ω k - 1 ( t - 1 ) - D ̅ Ω k - 1 X ^ k - 1 ( t - 1 ) Φ k , k - 1 T - Φ k , k - 1 D ̅ X ^ k - 1 Ω k - 1 ( t - 1 ) （29）
D ̅ X ^ k - 1 Ω k ( t - 1 ) = I - J ~ k - 1 ( t - 1 ) B k - 1 0 D ̅ Ω k - 1 ( t - 1 ) D Ω k - 1 , k D Ω k , k - 1 D ̅ Ω k ( t - 1 ) 0 I = ( I - J ~ k - 1 ( t - 1 ) B k - 1 ) D Ω k , k - 1 D ̅ X ^ k - 1 Ω k = D ̅ Ω k X ^ k - 1 T （30）
式中, D ̅ Ω k - 1 ( t - 1 ) 、 D ̅ Ω k ( t - 1 ) 按迭代计算。
（3）相邻历元状态误差与观测误差均相关的抗差卡尔曼滤波上述2种误差均为有色误差的抗差卡尔曼滤波时,只要把前2部分结合起来,则可导出相应的迭代公式,迭代公式不再赘述。
等价协方差阵 D ̅ X ^ k 可构造为式（31）：
D ̅ X ̅ ii = λ ii D X ̅ ii D ̅ X ̅ ij = λ ij D X ̅ ij λ ij = λ ii λ jj （31）
式中, λ ii 抗差因子通过式（18）计算。

3 抗差卡尔曼滤波算法案例分析

某大坝上布设了5个水平变形监测点,对其进行连续水平变形监测,观测时间为一个月,观测值的时间间隔相同（1 d）。表1为其中一点（P4点）28期的水平径向原始观测值,在第10期和20期分别加入1 mm和0.5 mm的粗差,方案一为进行相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的卡尔曼滤波处理;方案二为进行相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的抗差卡尔曼滤波处理,其处理结果见表1。此算例在状态噪声和观测噪声均相关的情况下进行,而状态噪声相关、观测噪声不相关和状态噪声不相关、观测噪声相关的情况在此不再赘述。
Tab. 1 Deformation monitoring data and the processing results of Kalman filtering algorithm

表1 变形监测点数据及卡尔曼滤波处理结果（mm）

期数 1 2 3 4 5
观测值 92.690 93.160 92.830 92.390 92.210
方案一 92.808 93.135 92.887 92.424 92.199
方案二 92.808 93.135 92.887 92.424 92.199
方案一差值 0.118 -0.025 0.057 0.034 -0.011
方案二差值 0.118 -0.025 0.057 0.034 -0.011
期数 6 7 8 9 10
观测值 92.150 91.860 91.280 90.910 90.340
方案一 92.135 91.869 91.303 90.908 91.294
方案二 92.135 91.869 91.303 90.908 90.349
方案一差值 -0.015 0.009 0.023 -0.002 0.954
方案二差值 -0.015 0.009 0.023 -0.002 0.009
期数 11 12 13 14 15
观测值 89.690 89.090 88.760 88.540 88.300
方案一 89.777 89.082 88.739 88.524 88.294
方案二 89.699 89.091 88.747 88.528 88.295
方案一差值 0.087 -0.008 -0.021 -0.016 -0.006
方案二差值 0.009 0.001 -0.013 -0.012 -0.005
期数 16 17 18 19 20
观测值 88.180 87.960 87.850 87.490 87.070
方案一 88.172 87.960 87.846 87.498 87.557
方案二 88.173 87.961 87.846 87.498 87.077
方案一差值 -0.008 0 -0.004 0.008 0.487
方案二差值 -0.007 0.001 -0.004 0.008 0.007
期数 21 22 23 24 25
观测值 86.380 85.780 85.060 84.610 84.270
方案一 86.422 85.781 85.063 84.602 84.262
方案二 86.394 85.784 85.066 84.603 84.262
方案一差值 0.042 0.001 0.003 -0.008 -0.008
方案二差值 0.014 0.004 0.006 -0.007 -0.008
期数 26 27 28
观测值 83.710 83.210 83.070
方案一 83.713 83.210 83.058
方案二 83.714 83.210 83.058
方案一差值 0.003 0 -0.012
方案二差值 0.004 0 -0.012
设观测点的状态向量为 X k = ( X , V X ) ,初值为 X 0 = ( 92.69 mm , 0.47 mm / s , D X ∧ 0 = 0.15 0 0 0.15 ,状态转移矩阵为 Φ = 1 Δ T k 0 1 ,由于观测值的采样间隔 Δ T k = 1 ,则： Φ = 1 1 0 1 ,观测的设计矩阵 B = 1 0 ,观测噪声和状态噪声的方差协方差矩阵分别为： D Δ = 0.15 m m 2 , D Ω = 0.15 0.3 0.3 0.15 。滤波初值的选取参考文献[27]和[28]。
由表1可得出：
（1）在相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的情况下,在第10期加入1 mm的粗差,普通卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.954 mm,而抗差卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.009 mm。同样,在第20期加入0.5 mm的粗差,普通卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.487 mm,而抗差卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.007 mm。这说明抗差卡尔曼滤波对粗差有一定的抵抗作用,有助于提高数据处理的精度。
（2）在相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的情况下,在第10期加入粗差之后,对其11期的计算结果产生了较大的影响,而对于12期、13期和14期的计算结果,随着时间的推移其影响越来越小。在第20期加入粗差之后的情况与此相同。这说明卡尔曼滤波方法在估计状态向量时,没有使用大量的先前观测数据,而是利用新近的观测数据进行不断的预测和改正,把系统新的状态展示出来。

4 结语

相邻历元误差相关的卡尔曼滤波算法在对变形监测数据进行处理时,可随时得到监测系统的最新状态,并能预测系统的未来。在采集变形监测的数据时,由于众多因素的干扰,误差难免出现在观测值中。若在数据处理时采用标准卡尔曼滤波模型,则致使变形分析结果与真值有很大的不同。使用本文推导的抗差卡尔曼滤波模型对数据处理,无论是否有粗差存在观测值中,变形分析计算结果与实际结果相差不大,粗差基本没有影响数据处理结果。其对数据分析时可得出卡尔曼滤波方法预估的状态向量,使用的观测数据是最近观测的,对以往观测数据没有大量的保存,通过不断的预测和改正,展示出系统新的状态。
本文构造的相邻历元误差相关的抗差卡尔曼滤波模型的原始条件比较苛刻,很多数据并不满足相邻历元误差相关;此外,未考虑抗差的界限值,即粗差多大时可减小抗差影响。这些都有待进一步研究。

The authors have declared that no competing interests exist.

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徐彦田,程鹏飞,蔡艳辉,等.估计对流层延迟的单频RTK卡尔曼滤波算法[J].测绘通报,2012(8):4-6.提出一种对流层估计方法实现单频RTK快速动态定位。用模型改正对流层干延迟，双差对流层湿 延迟用测站对流层天顶延迟估计，并与流动站位置及站间单差模糊度组成双差方程进行卡尔曼滤波，得到单差模糊度浮点解及方差阵，通过星问求差得到双差模糊度 浮点解及方差阵，结合MLAMBDA方法实时确定模糊度。试验验证单历元平面定位精度优于±3cm，高程定位精度优于±10cm。

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赵永翔,周怀北,陈淼,等.卡尔曼滤波在室内定位系统实时跟踪中的应用[J].武汉大学学报(理学版),2009,55(6):696-700.为了解决室内定位系统实时跟踪应用中所估算的用户位置方差较大, 用户位置移动不平缓这一难题,提出了一种基于卡尔曼滤波的室内定位方法.首先利用最近邻居法估算用户的位置坐标,然后再利用卡尔曼滤波算法对用户的估算位 置坐标进行滤波处理,以提高室内定位系统的性能和稳定性.实验结果表明,卡尔曼滤波算法可以将2 m以内85%的定位精度进一步提高到93%,3 m以内95%的定位精度提高到98%,改进效果明显而且稳定.

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孙红星,李德仁.非线性系统中卡尔曼滤波的一种新线性化方法[J].武汉大学学报(信息科学版),2004,29(4):346-348.针对测量领域非线性系统卡尔曼滤波的线性化,在分析两种传统线性化方式的基础上,提出了一种新的基于最优估计值的线性化方式.

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李海艳,李维嘉,黄运保.基于卡尔曼滤波的多传感器测量数据融合[J].武汉大学学报(工学版),2011,44(4):521-525.为解决最小二乘数据融合方法不能显式考虑测量的不确定性等问题,提出基于Kalman滤波的多传感器测量数据融合方法,此方法不仅显式考虑各测量设备的不确定性,而且还能实现单点和批量融合数据,有助于用户根据测量数据的多少选择有效的融合方法;且能有效地过滤基于Mahalanobis统计距离的异常噪声点.实例证明,此方法能获得高质量的融合曲面.

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许国辉,徐晖.卡尔曼滤波法方差估计的理论研究[J].武汉大学学报(工学版),2004,37(4):28-31.在卡尔曼滤波中,用传统的赫尔 默特法进行方差估计时,不仅计算公式复杂,而且计算量非常大.基于广义最小二乘法导出的滤波公式,根据赫尔默特方差估计的基本原理,推导出了用预测残差向 量进行方差估计的新公式.与传统的方差估计公式相比较,新公式不仅形式简单,而且大大减少了方差估计的计算量.

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刘友文,刘经南,朱敦尧.附有道路信息约束的自适应卡尔曼滤波在车载导航中的应用[J].武汉大学学报(信息科学版), 2008,33(8):828-830.基于车辆“当前”统计模型,利用自适应卡尔曼滤波对车载GPS动态数据进行了处理。将制约车辆运动的道路信息引入模型中,作为约束条件引入卡尔曼滤波方程。其思路是在原有滤波的基础上,利用道路信息约束条件对滤波方程中的一步预测值进行修正,以提高滤波结果的精度。实验结果表明,该算法具有实用意义。

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高书亮,李锐,黄智刚.利用卡尔曼滤波估计导航信号电离层差分改正[J].武汉大学学报(信息科学版),2010,35(9):1021-1023.针对星基增强系统中估计电离层延迟改正数的问题,提出了利用卡尔曼滤波估计导航信号电离层延迟的方法。将电离层格网点处的电离层垂直延迟及其变化率作为状态变量进行滤波估计,根据电离层的时域缓变特性建立了状态模型,基于星基增强系统中使用的格网模型建立了观测模型。仿真结果表明,与传统的电离层延迟校正方法相比,该方法具有更高的估计精度。

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王甫红. 高精度星载GPS实时定轨卡尔曼滤波模型[J].武汉大学学报(信息科学版),2010,35(6):653-656.在动力学模型补偿算法的基础上,推导了星载GPS实时定轨的卡尔曼滤波模型。以此为理论基础,自主研制了星载GPS实时定轨软件SATODS。使用CHAMP卫星上的星载GPS实测伪距数据以及GPS卫星广播星历来模拟实时定轨数据处理,并将实时定轨结果与JPL精密轨道进行比较分析。结果表明,在滤波收敛后,实时定轨的轨道精度和速度精度的3dRMS分别可达到1.0m和1.2mm/s,受观测数据的GPS卫星数、PDOP值、粗差数据和数据中断等因素的影响较小。

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黄观文,杨元喜,张勤.开窗分类因子抗差自适应序贯平差用于卫星钟差参数估计与预报[J].测绘学报,2011,40(1):15-21.常规最小二乘钟差模型不具有抵御粗差和钟跳的能力，容易受异常扰动而引起结果失真，从而直接影响导航定位精度。鉴于此，本文提出一种新的钟差算法——开窗分类因子抗差自适应序贯平差，即首先对一维钟差数据进行开窗处理，在窗口内利用抗差等价权削弱粗差影响，在窗口间构造自适应因子抵制钟跳异常，从而达到消除和削弱观测异常和状态异常的目的。同时，针对不同星钟参数不符值描述不同的扰动特性，提出构造分类自适应因子来抵制钟差时间序列中的扰动异常。计算结果表明，新算法一方面引入抗差估计，控制了粗差影响，拟合精度和预报精度与没有进行抗差处理的自适应序贯平差相比，分别提高78.9%和60.4%；另一方面由于新算法构造分类自适应因子，分别处理不同特征的状态异常，钟差拟合精度和预报精度与单因子抗差自适应序贯平差相比，分别提高4.3%和29.2%。新算法同样适用于除二次多项式以外的其它钟差模型，如AR模型、灰色模型等。

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杨玲,沈云中,楼立志.基于中位参数初值的等价权抗差估计方法[J].测绘学报,2011,40(1):28-32.等价权抗差估计法保留了最小二乘估计处理正常观测值的优良特性，但其抗差性与初值关系极大，若用最小二乘估值作初值，必定会影响其抗差性。中位数法具有很好的抗差特性，但它只用部分观测数据计算参数估值，丢失了大量有效信息。本文提出了基于中位参数的抗差估计方法，并在有限样本时，给出了其崩溃污染率的估算方法。根据中位参数法和等价权抗差估计法的各自优点，先用中位参数法计算初值，再用等价权抗差估计法计算最终的参数估值。实验结果表明：本文方法比基于最小二乘初值的等价权法具有更强的抗差性，比中位参数法的计算精度高。

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欧吉坤. 一种三步抗差方案的设计[J].测绘学报,1996,25(3):173-179.抗差估计的关键是选择恰当的极值函数ρ（．）或ψ（．）函数。本文针对抗差估计涉及的几个重 要问题，提出一种新的抗差方案的构想。新的抗差方案试图实现如下三阶段目标；１）选取抗差性能很强的初值，包括定位参数和单位权中误差的初值。２）综合抗 差，即要求能实现系数阵空间和观测空间同时抗差，能解决相关观测抗差估计问题，实现定位参数与单位权中误差的联合抗差。３）剔除粗差，给出有关估值的准确 统计特性。

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余学祥,吕伟才.抗差卡尔曼滤波模型及其在GPS监测网中的应用[J].测绘学报,2001,30(1):27-31.根据量测向量中的粗差对状态向量滤波值的影响规律 ,导出了抗差卡尔曼滤波模型 ,该模型对观测空间和设计空间均具有良好的抗差性。通过对含有粗差的模拟 GPS监测网的计算 ,与标准卡尔曼滤波模型相比较 ,利用该抗差滤波模型 ,可获得可靠的变形分析结果。

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归庆明,黄维彬,张建军.抗差泛岭估计[J].测绘学报, 1998,27(3):211-216.本文应用现代抗差估计理论，提出了一个抗差有偏估计类（抗差泛岭估计类）并且建立了抗差泛岭估计的计算方法。理论分析和模拟计算表明，抗差泛岭估计具有既可克服法矩阵病态性影响又可抵抗粗差干扰的良好性质。

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Sun H Y, Tang G Y.Optimal disturbance rejection with zero steady-state error for linear discrete-time systems[C]. Proceedings of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation, 2006,6:476-480.

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Gurel L, Oguz U.Signal-processing techniques to reduce the sinusoidal steady-state error in the FDTD method[J]. IEEE Transactions On Antennas and Propagation, 2000,48(4):585-593.Techniques to improve the accuracy of the finite-difference time-domain (FDTD) solutions employing sinusoidal excitations are developed. The FDTD computational domain is considered as a sampled system and analyzed with respect to the aliasing error using the Nyquist sampling theorem. After a careful examination of how the high-frequency components in the excitation cause sinusoidal steady-state errors in the FDTD solutions, the use of smoothing windows and digital low-pass filters is suggested to reduce the error. The reduction in the error is demonstrated for various cases

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Rigatos G G.Sensor fusion for UAV navigation based on derivative-free nonlinear Kalman Filtering[C]. Proceedings of the 2012 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, 2012,12:890-895.

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刘大杰,于正林,陶本藻.形变测量动态数据的处理方法.平差模型误差理论及其应用论文集[M].北京:测绘出版社,1992.

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余学祥,张华海,吕伟才,等. Kalman滤波在GPS监测网中的应用[J].工程勘察,2000(4):33.导出了卡尔曼滤波应用于 GPS监测系统的状态方程和观测方程的纯量形式和矩阵形式 ,给出了系统的滤波方程。讨论了系统初值的确定方法及形变分析方法。通过对模拟 GPS监测网的计算分析 ,取得了满意的结果。

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