2015 , Vol. 17 >Issue 12: 1506 - 1510

Orginal Article

The Analysis of Adjacent Epoch Error Related Robust Kalman Filtering Algorithm

• WANG Ren , 1 ,
• ZHAO Changsheng , 1, * ,
• ZHANG Min 1 ,
• SUN Peng 1 ,
• DU Xijian 2
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• 1. School of Geodesy and Geometrics, Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116, China
• 2. College of Geology Engineering and Geomatic, Chang'an University, Xi'an 710054, China
*Corresponding author: ZHAO Changsheng, E-mail:

Request revised date: 2015-07-02

Online published: 2015-12-20

《地球信息科学学报》编辑部 所有

### Abstract

According to the Kalman filtering theory and robust theory, we derived the model of adjacent epoch error related robust Kalman filtering algorithm. This model has a good robustness for observations containing gross errors. Through the analysis of deformation monitoring data containing gross errors and compare it to the model of adjacent epochs error related Kalman filtering algorithm, it can be concluded that using the proposed robust Kalman filtering model in data processing, regardless of whether or not there are gross errors in the observation values, the results of deformation analysis are consistent with the actual situation, which is not sensitive to the impact of gross error. And during the analysis of deformation monitoring data, we found that when the Kalman filtering method is used to estimate the state vector, it does not store a large amount of historical data, but takes use of the new observational data, through the continuous prediction and correction to estimate the new state of the system.

WANG Ren , ZHAO Changsheng , ZHANG Min , SUN Peng , DU Xijian . The Analysis of Adjacent Epoch Error Related Robust Kalman Filtering Algorithm[J]. Journal of Geo-information Science, 2015 , 17(12) : 1506 -1510 .

### 2 抗差卡尔曼滤波算法

$X k = Φ k , k - 1 X k - 1 + Ω k$ （1）
$L k = B k X k + Δ k$ （2）

（1）相邻历元观测误差相关的抗差卡尔曼滤波

$D Δ k - 1 , k - 1 D Δ k - 1 , k 0 D Δ k , k - 1 D Δ k , k D Δ k , k + 1 0 D Δ k + 1 , k D Δ k + 1 , k + 1$ （3）
$Ω k - 1$ 为高斯白噪声序列, $Δ k$ 为有色噪声序列。观测 $k - 1$ 次可得 $X ^ k - 1$ 的预估值,第 $k$ 次滤波的预估值为 $X ̅ k = Φ k , k - 1 X ^ k - 1$ ,其协方差为 $D X ̅ k = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k$ 。由于 $Δ k$ 为有色噪声序列,使得 $X ̅ k$ $Δ k$ 相关,其协方差（式（4））为：
$D X ̅ k Δ k = E ( X ̅ k Δ k T ) = Φ k , k - 1 E ( X ^ k - 1 Δ k T )$ （4）

$X ^ k - 1 = X ̅ k - 1 + J k - 1 ( L k - 1 - B k - 1 X ̅ k - 1 )$
$= ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 L k - 1 = ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 ( B k - 1 X ˜ k - 1 + Δ k - 1 )$ （5）

$D X ^ k - 1 Δ k = E ( X ^ k - 1 Δ k T ) = J k - 1 0 D Δ k - 1 D Δ k - 1 , k D Δ k , k - 1 D Δ k 0 I = J k - 1 D Δ k - 1 , k$ （6）

$D X ̅ k Δ k = Φ k , k - 1 E ( X ^ k - 1 Δ k T ) = Φ k , k - 1 J k - 1 D Δ k - 1 , k$ （7）

（8）
$D X ̅ k D X ̅ k Δ k D Δ k X ̅ k D Δ k = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k Φ k , k - 1 J k - 1 D Δ k - 1 , k D Δ k , k - 1 J k - 1 T Φ k , k - 1 T D Δ k$ （9）

$X ^ k = X ̅ k + ( D X ̅ k B k T + D X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k + B k D X ̅ k + D X ̅ k B k T ) - 1 ( L k - B k X ̅ k )$ （10）

$J k = ( D X ̅ k B k T + D X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k + B k D X ̅ k + D X ̅ k B k T ) - 1$ （11）
$k$ 次滤波值（式（12））为：
$X ^ k = X ̅ k + J k ( L k - B k X ̅ k )$ （12）
$k$ 次滤波值的协方差（式（13））为：
$D X ^ k = D X ̅ k - J k ( B k T D X ̅ k + D Δ k X ̅ k )$ （13）

$X ^ k ( t ) = X ̅ k + J k ( t - 1 ) ( L k - B k X ̅ k )$ （14）

$J ̅ k ( t - 1 ) = ( D X ̅ k B k T + D ̅ X ̅ k Δ k ) ( B k D X ̅ k B k T + D ̅ Δ k ( t - 1 ) + B k D ̅ X ̅ k Δ k + D ̅ Δ k X ̅ k B k T ) - 1$ （15）

$D ̅ X ̅ k Δ k = Φ k , k - 1 J ̅ k - 1 D Δ k - 1 , k$ （16）

（17）

$λ ii = 1 k 0 | V ˜ k i | k 1 - | V ˜ k i | k 1 - k 0 0 k 0 < | V ˜ k i | ≤ k 0 | V ˜ k i | ≤ k 1 | V ˜ k i | > k 1$ （18）

（2）相邻历元状态误差相关的抗差卡尔曼滤波

$D Ω k - 1 , k - 1 D Ω k - 1 , k 0 D Ω k , k - 1 D Ω k , k D Ω k , k + 1 0 D Ω k + 1 , k D Ω k + 1 , k + 1$ （19）

$X ̅ k = Φ k , k - 1 X ^ k - 1$ （20）
$D X ̅ k = Φ k , k - 1 I D X ^ k - 1 D X ^ k - 1 Ω k D Ω k X ^ k - 1 D Ω k Φ k , k - 1 T I = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D Ω k X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Ω k + D Ω k$ （21）

$X ^ k - 1 = X ̅ k - 1 + J k - 1 ( L k - 1 - B k - 1 X ̅ k - 1 ) = ( I - J k - 1 B k - 1 ) X ̅ k - 1 + J k - 1 L k - 1 = ( I - J k - 1 B k - 1 ) ( X ˜ k - 1 - Ω k - 1 ) + J k - 1 L k - 1$ （22）

$D X ^ k - 1 Ω k = ( I - J k - 1 B k - 1 0 ) D Ω k - 1 D Ω k - 1 , k D Ω k , k - 1 D Ω k 0 I = ( I - J k - 1 B k - 1 ) D Ω k - 1 k$ （23）

$X ^ k = X ̅ k + J k ( L k - B k X ̅ k )$ （24）
$D X ^ k = D X ̅ k - J k B k D X ̅ k = ( I - J k B k ) D X ̅ k$ （25）

$J k = D X ̅ k B k T ( B k D X ̅ k B k T + D Δ k ) - 1$ （26）

$X ^ k ( t ) = X ̅ k + J ~ k ( t - 1 ) ( L k - B k X ̅ k )$ （27）

$J ~ k ( t - 1 ) = D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) B k T ( B k D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) B k T + D Δ k ) - 1$ （28）
$D ̅ X ̅ k ( t - 1 )$ 按式（21）得
$D ̅ X ̅ k ( t - 1 ) = Φ k , k - 1 - I D X ^ k - 1 D ̅ X ^ k - 1 Ω k - 1 ( t - 1 ) D ̅ Ω k - 1 X ^ k - 1 ( t - 1 ) D ̅ Ω k - 1 t Φ k , k - 1 T - I = Φ k , k - 1 D X ^ k - 1 Φ k , k - 1 T + D ̅ Ω k - 1 ( t - 1 ) - D ̅ Ω k - 1 X ^ k - 1 ( t - 1 ) Φ k , k - 1 T - Φ k , k - 1 D ̅ X ^ k - 1 Ω k - 1 ( t - 1 )$ （29）
（30）

（3）相邻历元状态误差与观测误差均相关的抗差卡尔曼滤波上述2种误差均为有色误差的抗差卡尔曼滤波时,只要把前2部分结合起来,则可导出相应的迭代公式,迭代公式不再赘述。

（31）

### 3 抗差卡尔曼滤波算法案例分析

###### Tab. 1 Deformation monitoring data and the processing results of Kalman filtering algorithm

（1）在相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的情况下,在第10期加入1 mm的粗差,普通卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.954 mm,而抗差卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.009 mm。同样,在第20期加入0.5 mm的粗差,普通卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.487 mm,而抗差卡尔曼滤波的计算结果与观测值相差0.007 mm。这说明抗差卡尔曼滤波对粗差有一定的抵抗作用,有助于提高数据处理的精度。
（2）在相邻历元状态噪声和观测噪声均相关的情况下,在第10期加入粗差之后,对其11期的计算结果产生了较大的影响,而对于12期、13期和14期的计算结果,随着时间的推移其影响越来越小。在第20期加入粗差之后的情况与此相同。这说明卡尔曼滤波方法在估计状态向量时,没有使用大量的先前观测数据,而是利用新近的观测数据进行不断的预测和改正,把系统新的状态展示出来。

### 4 结语

The authors have declared that no competing interests exist.

 [1] Koch K R, Yang Y X.Robust Kalman filter for rank deficient observation models[J]. Journal of Geodesy, 1998,72(8):436-441.A robust Kalman filter is derived for rank deficient observation models. The datum for the Kalman filter is introduced at the zero epoch by the choice of a generalized inverse. The robust filter is obtained by Bayesian statistics and by applying a robust M-estimate. Outliers are not only looked for in the observations but also in the updated parameters. The ability of the robust Kalman filter to detect outliers is demonstrated by an example.
 [2] Liu X L, Liu J N, Du D S.Reliability analysis for Kalman filtering and its application in kinematic GPS positioning[J]. Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping(WTUSM), 1997,22(3):234-236.Based on the test of hypothesis,inner and outer reliability are given from the predicted residuals of Kalman filtering.In the meanwhile,the departing estimation algorithm of model biases is also presented.A software performing the algorithm is developed to test the moving vehicles data of WAPGPS.Some conclusions in processing the dynamic data of WADGPS are obtained.
 [3] 杨元喜,何海波,徐天河.论动态自适应滤波[J].测绘学报,2001,30(4):293-298.动态导航与定位的质量取决于对 动态载体扰动和观测异常扰动的认知和控制。本文首先介绍了目前广泛使用的 Sage自适应滤波 ,讨论了自适应滤波的残差向量、新息向量及状态参数预报值残差向量的解析关系 ,以及它们之间的协方差矩阵之间的关系 ;分析了基于新息向量、残差向量和状态参数预报值残差向量的自适应协方差估计存在的问题。对新近发展起来的抗差滤波、Sage自适应滤波及抗差自适应滤波 进行了综合比较与分析 ,结果表明抗差自适应滤波解算理论与方法除自适应地估计载体状态预报向量的协方差矩阵外 ,还能自适应地估计任意历元观测量的权。计算结果证实 ,抗差自适应滤波不仅计算简单 ,而且能有效地控制观测异常和载体状态扰
 [4] Yang Y X, He H B, Xu G C.Adaptively robust filtering for kinematic geodetic Positioning[J]. Journal of geodesy, 2001,75(2/3):109-116.The Kalman filter has been applied extensively in the area of kinematic geodetic positioning. The reliability of the linear filtering results, however, is reduced when the kinematic model noise is not accurately modeled in filtering or the measurement noises at any measurement epoch are not normally distributed. A new adaptively robust filtering is proposed based on the robust M (maximum-likelihood-type) estimation. It consists in weighting the influence of the updated parameters in accordance with the magnitude of discrepancy between the updated parameters and the robust estimates obtained from the kinematic measurements and in weighting individual measurements at each discrete epoch. The new procedure is different from functional model-error compensation; it changes the covariance matrix or equivalently changes the weight matrix of the predicted parameters to cover the model errors. A general estimator for an adaptively robust filter is developed, which includes the estimators of the classical Kalman filter, adaptive Kalman filter, robust filter, sequential least-squares adjustment and robust sequential adjustment. The procedure can not only resist the influence of outlying kinematic model errors, but also controls the effects of measurement outliers. In addition to the robustness, the feasibility of implementing the new filter is achieved by using the equivalent weights of the measurements and the predicted state parameters. A numerical example is given to demonstrate the ideas involved.
 [5] 杨元喜,文援兰.卫星精密轨道综合自适应抗差滤波技术[J].中国科学:D辑,2003,32(11):1112-1119.首先讨论了动力定轨、几何定轨存在的问题, 进而简要介绍了目前广泛使用的Sage自适应滤波和抗差滤波, 研究了一种综合利用Sage滤波和自适应抗差新的滤波技术. 该技术除自适应地估计卫星状态预报向量的协方差矩阵外, 还能自适应地估计任意历元观测量的权. 计算结果也表明, 新的技术不仅计算简单, 而且能有效地控制卫星几何观测异常和卫星动力学模型噪声异常对卫星轨道参数估值的影响.
 [6] 崔先强,杨元喜,高为广.多种有色噪声自适应算法的比较[J].武汉大学学报(信息科学版),2006,31(8):731-735.将控制有色噪声影响的自适应滤波算法分为函数模型补偿滤波和随机模型补偿滤波两类。在介绍各种自适应滤波理论和模型的基础上,重点分析了各种自适应滤波算法的优缺点,并用实际算例进行了验证。
 [7] 杨元喜. 自适应动态导航定位[D].北京:测绘出版社,2006.
 [8] 杨元喜. 动态系统的抗差Kalman滤波[J].解放军测绘学院学报,1997,14(2):79-84.离散历元的动态观测量及其相应 的动态模型可能存在异常，若数据处理模型不考虑对这些异常的特别处理，则动态模型参数估值及其所提供的动态信息将极不可靠。基于贝叶斯统计和抗差估计原 理，我们构造了一种抗差滤波算法。该算法考虑观测分布和参数验前分布均为污染分布。并利用一个实测网验算该算法和模型的可靠性。
 [9] 靳奉祥. 抗差估计理论与方法研究[J].山东科技大学学报·自然科学版,2003,22(4):1-6.对线性模型的线性迭代和非线性迭代求解方法的性质进行了详细研 究,分析了抗差估计理论与方法的数学性质和特点,描述了线性与非线性两种方法的解特点和解轨迹,从理论上深入研究了测量数据处理中迭代抗差估计方法的有关 性质,针对估计,分析了初始值和迭代限差与收敛性和解可靠性之间的关系,解决了抗差估计方案设计和技术实现过程中的几个技术难题.
 [10] 赵长胜. 有色噪声观测量的逐次静态滤波与配置[J].测绘通报,2004(4):17-18.通过改化观测方程,将有色噪声观测值转化为白噪声的虚拟观测值,用白噪声逐次滤波公式进行滤波计算.有色噪声观测值的逐次静态滤波理论可用于GPS数据处理.GPS载波相位观测值经过测站间、卫星间、历元间的3次差分计算,消除了大部分误差和整周模糊度,并使周跳成为孤值,但是相邻历元间隔的三差观测值误差相关造成其协方差阵呈现出分块三对角阵,使所求矩阵占据的时间和内存太大.利用有色噪声观测值的逐次静态滤波的理论,可消去相关性,减少计算时间和内存.这种顾及三差观测值的相关性的算法是严密的.
 [11] 徐彦田,程鹏飞,蔡艳辉,等.估计对流层延迟的单频RTK卡尔曼滤波算法[J].测绘通报,2012(8):4-6.提出一种对流层估计方法实现单频RTK快速动态定位。用模型改正对流层干延迟，双差对流层湿 延迟用测站对流层天顶延迟估计，并与流动站位置及站间单差模糊度组成双差方程进行卡尔曼滤波，得到单差模糊度浮点解及方差阵，通过星问求差得到双差模糊度 浮点解及方差阵，结合MLAMBDA方法实时确定模糊度。试验验证单历元平面定位精度优于±3cm，高程定位精度优于±10cm。
 [12] 赵永翔,周怀北,陈淼,等.卡尔曼滤波在室内定位系统实时跟踪中的应用[J].武汉大学学报(理学版),2009,55(6):696-700.为了解决室内定位系统实时跟踪应用中所估算的用户位置方差较大, 用户位置移动不平缓这一难题,提出了一种基于卡尔曼滤波的室内定位方法.首先利用最近邻居法估算用户的位置坐标,然后再利用卡尔曼滤波算法对用户的估算位 置坐标进行滤波处理,以提高室内定位系统的性能和稳定性.实验结果表明,卡尔曼滤波算法可以将2 m以内85%的定位精度进一步提高到93%,3 m以内95%的定位精度提高到98%,改进效果明显而且稳定.
 [13] 孙红星,李德仁.非线性系统中卡尔曼滤波的一种新线性化方法[J].武汉大学学报(信息科学版),2004,29(4):346-348.针对测量领域非线性系统卡尔曼滤波的线性化,在分析两种传统线性化方式的基础上,提出了一种新的基于最优估计值的线性化方式.
 [14] 李海艳,李维嘉,黄运保.基于卡尔曼滤波的多传感器测量数据融合[J].武汉大学学报(工学版),2011,44(4):521-525.为解决最小二乘数据融合方法不能显式考虑测量的不确定性等问题,提出基于Kalman滤波的多传感器测量数据融合方法,此方法不仅显式考虑各测量设备的不确定性,而且还能实现单点和批量融合数据,有助于用户根据测量数据的多少选择有效的融合方法;且能有效地过滤基于Mahalanobis统计距离的异常噪声点.实例证明,此方法能获得高质量的融合曲面.
 [15] 许国辉,徐晖.卡尔曼滤波法方差估计的理论研究[J].武汉大学学报(工学版),2004,37(4):28-31.在卡尔曼滤波中,用传统的赫尔 默特法进行方差估计时,不仅计算公式复杂,而且计算量非常大.基于广义最小二乘法导出的滤波公式,根据赫尔默特方差估计的基本原理,推导出了用预测残差向 量进行方差估计的新公式.与传统的方差估计公式相比较,新公式不仅形式简单,而且大大减少了方差估计的计算量.
 [16] 刘友文,刘经南,朱敦尧.附有道路信息约束的自适应卡尔曼滤波在车载导航中的应用[J].武汉大学学报(信息科学版), 2008,33(8):828-830.基于车辆“当前”统计模型,利用自适应卡尔曼滤波对车载GPS动态数据进行了处理。将制约车辆运动的道路信息引入模型中,作为约束条件引入卡尔曼滤波方程。其思路是在原有滤波的基础上,利用道路信息约束条件对滤波方程中的一步预测值进行修正,以提高滤波结果的精度。实验结果表明,该算法具有实用意义。
 [17] 高书亮,李锐,黄智刚.利用卡尔曼滤波估计导航信号电离层差分改正[J].武汉大学学报(信息科学版),2010,35(9):1021-1023.针对星基增强系统中估计电离层延迟改正数的问题,提出了利用卡尔曼滤波估计导航信号电离层延迟的方法。将电离层格网点处的电离层垂直延迟及其变化率作为状态变量进行滤波估计,根据电离层的时域缓变特性建立了状态模型,基于星基增强系统中使用的格网模型建立了观测模型。仿真结果表明,与传统的电离层延迟校正方法相比,该方法具有更高的估计精度。
 [18] 王甫红. 高精度星载GPS实时定轨卡尔曼滤波模型[J].武汉大学学报(信息科学版),2010,35(6):653-656.在动力学模型补偿算法的基础上,推导了星载GPS实时定轨的卡尔曼滤波模型。以此为理论基础,自主研制了星载GPS实时定轨软件SATODS。使用CHAMP卫星上的星载GPS实测伪距数据以及GPS卫星广播星历来模拟实时定轨数据处理,并将实时定轨结果与JPL精密轨道进行比较分析。结果表明,在滤波收敛后,实时定轨的轨道精度和速度精度的3dRMS分别可达到1.0m和1.2mm/s,受观测数据的GPS卫星数、PDOP值、粗差数据和数据中断等因素的影响较小。
 [19] 黄观文,杨元喜,张勤.开窗分类因子抗差自适应序贯平差用于卫星钟差参数估计与预报[J].测绘学报,2011,40(1):15-21.常规最小二乘钟差模型不具有抵御粗差和钟跳的能力，容易受异常扰动而引起结果失真，从而直接影响导航定位精度。鉴于此，本文提出一种新的钟差算法——开窗分类因子抗差自适应序贯平差，即首先对一维钟差数据进行开窗处理，在窗口内利用抗差等价权削弱粗差影响，在窗口间构造自适应因子抵制钟跳异常，从而达到消除和削弱观测异常和状态异常的目的。同时，针对不同星钟参数不符值描述不同的扰动特性，提出构造分类自适应因子来抵制钟差时间序列中的扰动异常。计算结果表明，新算法一方面引入抗差估计，控制了粗差影响，拟合精度和预报精度与没有进行抗差处理的自适应序贯平差相比，分别提高78.9%和60.4%；另一方面由于新算法构造分类自适应因子，分别处理不同特征的状态异常，钟差拟合精度和预报精度与单因子抗差自适应序贯平差相比，分别提高4.3%和29.2%。新算法同样适用于除二次多项式以外的其它钟差模型，如AR模型、灰色模型等。
 [20] 杨玲,沈云中,楼立志.基于中位参数初值的等价权抗差估计方法[J].测绘学报,2011,40(1):28-32.等价权抗差估计法保留了最小二乘估计处理正常观测值的优良特性，但其抗差性与初值关系极大，若用最小二乘估值作初值，必定会影响其抗差性。中位数法具有很好的抗差特性，但它只用部分观测数据计算参数估值，丢失了大量有效信息。本文提出了基于中位参数的抗差估计方法，并在有限样本时，给出了其崩溃污染率的估算方法。根据中位参数法和等价权抗差估计法的各自优点，先用中位参数法计算初值，再用等价权抗差估计法计算最终的参数估值。实验结果表明：本文方法比基于最小二乘初值的等价权法具有更强的抗差性，比中位参数法的计算精度高。
 [21] 欧吉坤. 一种三步抗差方案的设计[J].测绘学报,1996,25(3):173-179.抗差估计的关键是选择恰当的极值函数ρ（．）或ψ（．）函数。本文针对抗差估计涉及的几个重 要问题，提出一种新的抗差方案的构想。新的抗差方案试图实现如下三阶段目标；１）选取抗差性能很强的初值，包括定位参数和单位权中误差的初值。２）综合抗 差，即要求能实现系数阵空间和观测空间同时抗差，能解决相关观测抗差估计问题，实现定位参数与单位权中误差的联合抗差。３）剔除粗差，给出有关估值的准确 统计特性。
 [22] 余学祥,吕伟才.抗差卡尔曼滤波模型及其在GPS监测网中的应用[J].测绘学报,2001,30(1):27-31.根据量测向量中的粗差对状态向量滤波值的影响规律 ,导出了抗差卡尔曼滤波模型 ,该模型对观测空间和设计空间均具有良好的抗差性。通过对含有粗差的模拟 GPS监测网的计算 ,与标准卡尔曼滤波模型相比较 ,利用该抗差滤波模型 ,可获得可靠的变形分析结果。
 [23] 归庆明,黄维彬,张建军.抗差泛岭估计[J].测绘学报, 1998,27(3):211-216.本文应用现代抗差估计理论，提出了一个抗差有偏估计类（抗差泛岭估计类）并且建立了抗差泛岭估计的计算方法。理论分析和模拟计算表明，抗差泛岭估计具有既可克服法矩阵病态性影响又可抵抗粗差干扰的良好性质。
 [24] Sun H Y, Tang G Y.Optimal disturbance rejection with zero steady-state error for linear discrete-time systems[C]. Proceedings of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation, 2006,6:476-480.
 [25] Gurel L, Oguz U.Signal-processing techniques to reduce the sinusoidal steady-state error in the FDTD method[J]. IEEE Transactions On Antennas and Propagation, 2000,48(4):585-593.Techniques to improve the accuracy of the finite-difference time-domain (FDTD) solutions employing sinusoidal excitations are developed. The FDTD computational domain is considered as a sampled system and analyzed with respect to the aliasing error using the Nyquist sampling theorem. After a careful examination of how the high-frequency components in the excitation cause sinusoidal steady-state errors in the FDTD solutions, the use of smoothing windows and digital low-pass filters is suggested to reduce the error. The reduction in the error is demonstrated for various cases
 [26] Rigatos G G.Sensor fusion for UAV navigation based on derivative-free nonlinear Kalman Filtering[C]. Proceedings of the 2012 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, 2012,12:890-895.
 [27] 刘大杰,于正林,陶本藻.形变测量动态数据的处理方法.平差模型误差理论及其应用论文集[M].北京:测绘出版社,1992.
 [28] 余学祥,张华海,吕伟才,等. Kalman滤波在GPS监测网中的应用[J].工程勘察,2000(4):33.导出了卡尔曼滤波应用于 GPS监测系统的状态方程和观测方程的纯量形式和矩阵形式 ,给出了系统的滤波方程。讨论了系统初值的确定方法及形变分析方法。通过对模拟 GPS监测网的计算分析 ,取得了满意的结果。
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