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Journal of Geo-information Science >

2023 , Vol. 25 >Issue 1: 25 - 39

DOI: https://doi.org/10.12082/dqxxkx.2023.220214

NSGA Multi-objective Optimization Algorithms and Geographic Decision-making: Principles, State of the Art, and the Future

  • GAO Peichao , 1, 2 ,
  • WANG Haoyu 2 ,
  • SONG Changqing , 1, 2, * ,
  • CHENG Changxiu 1, 2, 3 ,
  • SHEN Shi 1, 2
Expand
  • 1. State Key Laboratory of Earth Surface Processes and Resource Ecology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China
  • 2. Faculty of Geographical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China
  • 3. National Tibetan Plateau Data Center, Beijing 100101, China
*SONG Changqing, E-mail:

Received date: 2022-04-22

  Revised date: 2022-06-18

  Online published: 2023-03-25

Supported by

Strategic Priority Research Program of the Chinese Academy of Sciences(XDA23100303)

Second Tibetan Plateau Scientific Expedition and Research Program(2019QZKK0608)

National Natural Science Foundation of China(42171088)

National Natural Science Foundation of China(42171250)

Fold

Abstract

The focus of geography is shifting from qualitative descriptions and quantitative analysis to support decision-making. The process of geographic decision-making usually involves multiple factors to consider and balance to achieve an optimal solution. It is a typical process of multi-objective optimization. Thus, multi-objective optimization algorithms from the field of mathematics are fundamental and have great potential to be applied in geographic decision-making. New algorithms of multi-objective optimization serve as an important source of new methods and tools for geography. This paper reviews a series of Nondominated Sorting Genetic Algorithms (NSGA-I/II/III), which are among the cutting edge and most popular algorithms in the field of multi-objective optimization. This review summarizes the principles, applications, improvements, and problems of these NSGA algorithms. Our findings include: NSGA-II is the most popular algorithm among the series because of its low computational complexity and high usability; NSGA-III has few applications in geographic decision-making for its sophisticated principles; currently, water resource management is the most successful field in applying the NSGA algorithms, and the experiences from this field are of use to others; and land use planning is the most successful field in improving the NSGA algorithms, making the NSGA algorithms more applicable to geographic decision-making. In the future, it is necessary to reduce the difficulty of applying the NSGA algorithms by summarizing typical issues in geographic decision-making and by developing user-friendly software tools for geographers. The efficiency of the NSGA algorithms can be further improved by coupling local searching strategies. It is also recommended to deeply incorporate the NSGA algorithms into the processes of geographic simulations.

Key words： geographical decision; multi-objective optimization; Nondominated Sorting Genetic Algorithms; Pareto front

Cite this article

GAO Peichao , WANG Haoyu , SONG Changqing , CHENG Changxiu , SHEN Shi . NSGA Multi-objective Optimization Algorithms and Geographic Decision-making: Principles, State of the Art, and the Future[J]. Journal of Geo-information Science, 2023 , 25(1) : 25 -39 . DOI: 10.12082/dqxxkx.2023.220214

1 引言

地理学正在经历“剧变”时代[1]，愈发强调决策支持[2]。最早的地理学（第I范式阶段）建立在定性的知识描述基础之上，通过观察、记述、勘查、区划、制图、地方志等手段描述陆地表层研究对象的空间分布（即格局）及其分异、规律[3]，具有区域性的特点。近20年（第II范式阶段），地理学呈现出综合性的特点[4]，关注研究对象的时空演变（即过程）。由于“过程改变格局”同时“格局影响过程”[5]，该阶段的地理学强调耦合格局和过程进行综合研究[6]。如今的地理学（第III范式阶段）在新技术和大数据的支撑下[7]，重点研究对象为人地相互作用、动态非线性变化的复杂系统[8]，通过对人地系统的模拟、预测和分析，旨在为地理问题（如国土空间规划、生态系统保护、新型城镇化等[9⇓-11]）的决策提供支撑[12]、并为更广泛的政府决策（如精准扶贫、新冠疫情防控）提供地理视角的知识服务。
地理决策过程中往往涉及众多因素，需要通盘考量不同因素、权衡利弊，并提出最优方案，是典型的多目标优化过程（即对2个或2个以上的决策目标同时进行优化，以期达到所有目标不能同时更优）。例如，根据联合国《2030年可持续发展议程》[13]，全球及区域可持续发展具有无贫穷、零饥饿、良好健康与福祉、优质教育、体面工作和经济增长、可持续城市和社区等17个优化大目标，并明确为169个具体目标和300多个技术指标（如环境水质良好的水体比例、移动网络所覆盖的人口比例等）。又如，欧名豪等[14]指出，国土空间规划是集生态安全、粮食保障、经济发展等宏观调控目标和基建服务、公共安全、游憩娱乐等微观治理目标为一体的多目标优化问题。西藏自治区土地利用总体规划（2006—2020年）[15]中，便明确指出五大土地利用目标，分别是耕地和基本农田保护、严控土地供应总量、提高土地利用效益、遏制生态环境恶化趋势、优化土地利用格局。再如，方创琳等[16]认为，美丽中国建设应注意生态环境、绿色发展、社会和谐、体制完善、文化传承五大目标，每个大目标并细化至6~7个具体的优化小目标（如绿色发展细化为人均GDP、单位GDP能耗、单位GDP水耗、二产占比、三产占比、人均财政收入）。
然而，地理学尚未良好地应用多目标优化领域的新方法，未充分发挥这些方法的潜力。当前，面向地理决策的多目标优化解决方案根据决策者主观参与程度可分为3种类型。第①种为主观方案，通常在优化过程中对目标进行定性考虑，淡化了最优化方案的求解[17]。例如在城市规划方案设计时考虑职住平衡[18]。第②种为主客观结合的简单加权法，具体指借助计算机算法进行优化，但通过加权法将多个目标函数组合成单目标函数处理[19]。该方法的优点是操作方便、算法简易，但缺点是优化结果取决于权重设置、且权重的设置较为主观。第③种是客观的多目标优化算法。从数学优化领域而言，多目标优化具备客观的解决方案，即搜索帕里托（Pareto）最优解集（也称非支配解集）。帕里托最优解是至少在1个目标上表现优于（即支配）其它所有解的解，其搜索依赖于启发式算法。
常见的启发式算法包括遗传算法[20]、模拟退火算法[21]、粒子群优化算法[22]、人工免疫算法[23]等，均可用于多目标优化[24⇓⇓⇓-28]。本文关注其中的遗传算法，其具有善于全局优化、同时适用于数学表达复杂和缺乏数学表达的现实问题、抗噪声、支持并行和分布式处理等特点[29]，因此应用广泛。非支配排序遗传系列算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithms, NSGAs）是遗传算法中最流行、最具有代表性的算法之一，也是本文的关注重点。该系列共有三代算法，其引用（据2021年2月13日谷歌学术， https://scholar.google.com/）分别为8249、34 682和2501次。
作为影响力巨大的多目标优化算法，NSGA系列算法的应用对地理多目标决策具有重要意义。但也需认识到，NSGA系列算法作为数学优化算法，并非针对地理问题提出。而地理问题有别于纯粹的数学优化问题，地理对象间的空间关系和空间特征又往往十分复杂，因此NSGA系列算法难以直接套用，往往需要深入理解和改进。本文旨在综述NSGA从1994年提出以来各代算法的发展，并对比其核心原理。随后，我们将回顾NSGA算法在地理决策中应用和改进的现状，并对未来研究进行展望和预判。

2 NSGA系列算法的原理剖析与对比

NSGA系列算法均属于遗传算法，因此在本章中，我们先介绍遗传算法的核心原理和基本框架，然后对NSGA系列算法的原理进行剖析。

2.1 遗传算法

遗传算法始于20世纪80年代[30]，旨在通过启发式的方法、避免通过枚举的方式在多目标优化的可行解空间中搜索最优解[31]。遗传算法模拟了达尔文的进化论，使用1组随机生成的解表达初始种群。每个解（也称为个体）在目标函数中的表现越好（即该解所对应的目标函数值越大或越小，取决于优化方向）则被理解为“适宜度”越高。适宜度高的解，更容易被选中以繁衍后代。被选中的解，两两地进行基因交叉，并在一定的基因变异的概率下形成子代解。最终，由子代解形成新的种群，重新开始遗传进化。
可见，遗传算法的基本框架为迭代式的父代种群和子代种群间的遗传进化。每轮遗传进化包括选择、交叉、变异3个算子，如图1所示。其中，选择算子的具有重要的作用，其功能是根据适宜度选中进行繁衍的解。正如Goldberg等[32]指出，选择算子决定个体的生死与命运（selection: a matter of birth, life, and death）。
图1 遗传算法的基本框架

Fig. 1 Basic framework of genetic algorithms

2.2 NSGA-I

NSGA-I算法于1994年提出[33]。其与普通的遗传算法相比的共同点是基本框架，不同点在于NSGA-I根据前人的建议[34]对选择算子进行了具体实现。
选择算子的核心是适宜度计算。NSGA-I中适宜度的计算可分为粗算和细算两大步。粗算阶段的工作是根据非支配性排序。选择算子将判定群体中所有解的非支配等级（若解1对应的所有目标函数值都优于解2，则称解1支配解2）。不受任意其它解支配的解称为非支配解，其非支配等级最低（最靠前）。对于任意解而言，其非支配等级越靠前，则其适宜度越高。判定时采用遍历法，即将每个解与其它所有解在每个目标函数（共 M个）上进行对比，逐次识别出每个非支配等级（最多 N个），因此计算复杂度为 O M N 3。
细算阶段的工作是在小生境（niche）内进行适宜度的分享（sharing）。其中，小生境概念可类比邻域，分享的本质是根据相邻解的情况对当前解的适宜度调整。根据小生境内解的密集程度，调整每个解的适宜度。小生境内的解越密集，说明当前解的代表性越弱，因此其适宜度将被调低（但高于后个等级中所有解的适宜度）。数学表达如下：
f i = f i ' / ∑ j 1 - d i j / σ s h a r e 2
式中： f i和 f i '分别是解 i在细算后和粗算后的适宜度； σ s h a r e是用户自定义的半径，用于生成解 i的邻域范围，落在该范围内的其它解用 j编号； d i j表示解 j和 i的距离。
在适宜度的基础上，NSGA-I采用随机余数比例选择法（Stochastic Remainder Proportionate Selection）进行解的繁衍，其它方法包括比例选择法（即轮盘赌法）。

2.3 NSGA-II

NSGA-II[35]与普通的遗传算法相比，不仅重新明确了选择算子的功能，而且加入了精英保留策略，从而直接修改了后者的基本框架。
NSGA-II的基本框架如图2所示。对比图1可知，普通遗传算法具有串行的选择、交叉、变异算子各1个，而NSGA-II中各算子并非简单地串行、且具有2个选择算子。在NSGA-II中，种群 P t先后经历选择算子1、交叉算子、变异算子，得到种群 Q t。然后， P t和 Q t合并成的新种群 P t ,   Q t，新种群经过选择算子2后仅保留其中的50%解成为后代种群 P t + 1。因此，在 P t + 1中，不仅有子种群 Q t中优良的解，父种群 P t中适宜度高的解也被保留，从而实现了精英保留策略。2个选择算子介绍如下。
图2 NSGA-II的基本框架

Fig. 2 Basic framework of NSGA-II

算子1与NSGA-I中的选择算子既有相同点亦有不同。相同点是：① 繁衍时均采用常规方法（如二元锦标赛法）；② 繁衍前后的种群大小不变（均为 N）。不同点在于① 适宜度计算直接取决于解的非支配等级，该等级越靠前、适宜度越高； ② 在确定非支配等级时，新提出了快速非支配排序法（Fast Nondominated Sorting Approach, FNSA）以加快计算效率。FNSA首先遍历种群中的所有解，针对每个解 p，计算支配 p的解数 n p（称为支配数）和被 p支配的解集合 S p（被支配集）。然后再次遍历所有解，根据 n p的数值确定非支配等级：若 n p = 0，则将解 p的非支配等级记为1、并从遍历序列中删除，同时将 S p中解的支配数减1。然后重新返回第二步，直至遍历序列为空。计算复杂度为 O M N 2。
算子2（图3）为NSGA-II中独有，与算子1相比具有明显不同。① 算子2作用前后的种群大小为分别为 2 N和 N。其次，算子2不再依赖于适宜度，而是基于非支配等级和拥挤距离进行选择。② 非支配等级的计算依然采用FNSA；拥挤距离是新定义的指标，用于估计解密度。拥挤距离针对每个解进行计算，衡量了解在每个目标方向上同一非支配等级下相对于前后2个最相近解的距离（表征局部拥挤程度），其数学表达如下：
i d i s = ∑ m = 1 M f m a m + 1 - f m a m - 1 f m m a x - f m m i n           ( a m ≠ 1   o r   N ) ∞                                                                                                       ( a m = 1   o r   N )
式中： i d i s表示解 i的拥挤距离； a m为解 i在第 m个目标方向上的序号（根据函数值排序）； f m m a x和 f m m i n分别为所有解在第 m个目标方向上函数值的最大值和最小值； f m ∙根据解的序号返回解在第 m个目标方向上的函数值； N表示初始种群大小； ∞表示无穷大。图4给出了一个拥挤距离的二维示意图。对于一个解来说，每个目标方向上有前后2个“邻居”（即最近的解），所有方向共有 2 M个“邻居”。拥挤距离实际上是以这 2 M个“邻居”为顶点的 M维矩体的归一化周长。因此，拥挤距离越大，说明解与周边解的距离越远、种群密度越小、解的多样性越高。③ 算子2的作用规则如下：选择种群 P t ,   Q t中的前若干个非支配等级上的全部解（记为 S t，其中 S t = N '），使得 N ' = N或尽可能地逼近 N。若 N ' ≠ N，则再从后1个非支配等级 F l上，选择拥挤距离最大的前 N - N '个解。最终，所有这些选中的解构成 P t + 1。算子2使得 P t和 Q t中的“精英”解直接进入 P t + 1，因此被称为精英保留策略。
图3 NSGA-II中的选择算子2

Fig. 3 Second selection operator of NSGA-II

图4 二维拥挤距离计算实例

Fig. 4 Calculation of the crowding-distance

2.4 NSGA-III

NSGA-III[36]旨在解决目标较多的优化问题[37]（通常指4及以上个，此类问题称为超多目标优化many-objective optimization），其沿用了II的基本框架，但修改了II的选择算子2中当 N ' ≠ N时的算法。
在NSGA-III的算子2中，当 N ' ≠ N时，需从 F l中再选择 N - N '个解，这些解将与 S t共同构成 P t + 1。该算子的实现依赖于布设于归一化超平面上的参考点（图5）。
图5 NSGA-III中的选择算子2

Fig. 5 Second selection operator of NSGA-III

为创建超平面，首先平移目标函数坐标系（维度为 M）至新的原点（称为理想点），其坐标 z - = z 1 m i n ,     z 2 m i n ,     ⋯ ,   z M m i n。因此，各个目标函数 f i x转换为 f i ' x = f i x - z i m i n。在平移后的坐标系中创建超平面（维度为 M - 1）时，需明确 M个平面穿过的点（称为极值点）。这些点是 M个从 S t中筛选出的、对应每个目标函数的解。第 i个点需满足的条件：在 S t的所有解中，其使得所有非第 i个目标函数的最大值最小：
m a x f 1 ' x ∙ 10 6 ,   f 2 ' x ∙ 10 6 , ⋯ ,   f j ' x , ⋯ ,   f M ' x ∙ 10 6
其本质是在所有非第 i个目标函数所有组成的坐标系中最接近原点的解。最后，求取超平面与每个坐标轴的交点 a i，并对函数 f j ' x进行归一化：
f i n o r m a l x = f i ' x / f i a i - z i m i n
由于 f i n o r m a l a i = 1，故超平面上的点均满足 ∑ i f i n o r m a l = 1，故为归一化超平面。
参考点的布设原则为尽量平均地分布在超平面上。设将超平面的每条边等分成 α份，那么参考点的总个数为 C M + α - 1 α。参考点布设完毕后，已有的 N '个解可与其最近的参考点关联（距离的衡量方法为解到参考点与原点连线的垂距）。
最终，从 F l中新选出 N - N '个解。具体方法为，首先，寻找关联解个数最小（记为 ρ j -）的参考点（记为 j -），若有多个则随机地选择1个。然后，若 ρ j - = 0且 F l有能与 j -关联的解，那么选出距 j -最近的1个关联解；若 ρ j - = 0但 F l没有能与 j -关联的解，那么本次迭代中不再考虑 j -；若 ρ j - ≠ 0，则从 F l任选出1个与 j -关联的解（若有）。最后，重复上述过程，直至选出的解个数等于 N - N '。

2.5 算法对比

NSGA三代算法判断解之优劣的标准是一致的。对于多目标优化算法来说，如何根据解在各个目标的表现评判出它们的优劣非常关键。NSGA系列算法以解对应的目标函数值和它周围的密度判定解的优劣，其中三代算法都采用帕里托最优的概念，以解的非支配等级来对目标函数值进行评价，并以非支配等级作为解的优劣最重要评价指标。
从第一代到第三代，算法也不断得以提升。从NSGA-I到NSGA-II，算法的计算方式得到了全方位的改变。首先，在算法框架方面，加入了精英保留策略，大大提高了算法的收敛能力。其次，NSGA-II通过引入快速非支配排序法将算法的时间复杂度从 O ( M N 3 )降低至 O M N 2。此外，NSGA-I通过指定范围内的解个数来评价密度，需要主观设定参数 σ s h a r e，NSGA-II通过各个方向上最近解的距离来评价，避免了主观设定。
从NSGA-II到NSGA-III，算法的改进有了明确的指向性，即使算法适用于求解超多目标优化。这是通过改进对解密度的计算方式实现的。NSGA-III通过施加外部手段（参考点）控制解的整体分布，从而降低解的密度。这一改进提高了算法保护种群多样性的能力，并使种群有更大的机会收敛至帕里托前沿，从而使超多目标优化成为可能。但这同时牺牲了算法的效率。NSGA-III的时间复杂度为 O ( M N 2 )与 O ( N 2 l o g M - 2 N )中的较大者，无论何种情况都高于NSGA-II的时间复杂度、低于NSGA-II的效率。算法对比如表1所示。
表1 NSGA-I、II、III算法的对比

Tab. 1 Comparison of NSGA-I, II and III

算法 快速非支配排序 解密度的计算方式 精英保留 时间复杂度
I 否 适宜度的分享 否 O ( M N 3 )
II 是 拥挤距离 是 O M N 2
III 是 关联至归一化超平面上的参考点 是 m a x   { O M N 2 , O N 2 l o g M - 2 N }
从上述分析知，NSGA-I到NSGA-II是算法收敛能力的提升，而NSGA-II到NSGA-III是算法可用性（适用范围）的提升。对于多目标优化问题，NSGA-I与NSGA-II均可求解，但NSGA-II的性能更优，所以应该选择NSGA-II。值得注意的是，NSGA-II的应用范围并不仅限于2~3个目标的优化问题（即多目标优化），也包括目标数大于3的优化问题（即超多目标优化）。在超多目标优化问题的求解上，NSGA-II也表现出良好的收敛性，同时相比于NSGA-III还具有计算效率方面的优势。当目标数的较多时，NSGA-III具有无可取代的能力优势，因为其它两种算法可能难以收敛到均匀分布的帕里托前沿，此时应选择NSGA-III。
综上，NSGA-II适用场景最丰富，且运算效率最高，因此成为NSGA系列算法中最流行、应用最广的版本。当算法应用于实际的地理决策时，除了考虑算法的能力和性能，还要综合算法与实际问题的结合能力。在地理决策优化中，解通常是由大量地理对象组成（如国土空间优化中的解通常是一系列地块组成），导致地理决策优化的解空间巨大。同时，而地理对象往往又相互关联，一个对象的变化会对其他对象造成影响，这增加了解空间的复杂性。
因此，算法的效率对于实际应用十分关键，而NSGA-II是NSGA系列中效率最高的版本。此外，地理对象的相关性也提高了建模的难度，虽然在进行数学建模时更多的目标可以更好地表达实际问题，但这要求研究者具有较强的问题理解和数学运用能力。所以，当前在地理决策中还是以多目标优化为主，NSGA-III的应用比较局限。
最后，为将NSGA系列算法与其它常见多目标遗传算法进行对比，选择了3种多目标优化遗传算法：向量评估遗传算法（Vector-Evaluated Genetic Algorithm, VEGA）、多目标遗传算法（Multi-Objective Genetic Algorithm, MOGA）、加强帕里托进化算法（Strength Pareto Evolutionary Algorithm, SPEA）。其中，VEGA是第一个通过一组非支配解来逼近帕里托前沿的遗传算法；MOGA是第一个明确使用基于帕里托排序和生境技术来搜索帕里托前沿并保持群体中的多样性的遗传算法；SPEA（及其改进版本SPEA2）是一种兼顾非支配排序与种群多样性且加入精英保留策略的遗传算法。
VEGA与NSGA相比在优化中将多目标转化为单目标，计算效率高，但种群倾向于收敛到一个目标最优但其他目标很差的解。MOGA的优化思路与NSGA-I接近，其种群多样性保护机制都需要指定参数，且收敛较慢[38]。SPEA的优化思路与NSGA-II接近，但其适应度和种群密度计算成本高[24]。

3 NSGA地理决策的现状

3.1 文献检索与计量结果

为回顾NSGA算法在地理决策中应用和改进的现状，我们采用如下方法收集数据。首先，分别在中、英文学术搜索引擎网站上检索摘要中包含“NSGA”关键词的文献，其中英文学术搜索引擎选用Web of Science核心合集，中文学术搜索引擎选用中国科学引文数据库。这些学术搜索引擎网站上均提供预设的学科分类，可分学科呈现检索结果，同时检索结果可以从属于多个学科分类。然后，通过筛选学术搜索引擎网站上的学科分类精炼搜索结果，从而得到地理及相关领域中、摘要中包括“NSGA”关键的文献。在Web of Science核心合集中使用的学科分类为“water resources”、“geoscience multidisciplinary”、“remote sensing”、“geography”、“geography physical”、“regional urban planning”和“urban studies”。在中国科学引文数据库中使用的学科分类为“农业”、“环境科学/生态学”、“遥感”。共检索出399篇文献（截止2022年6月12日），其中中文40篇、英文359篇。文献发表年份分布如图6所示（截止2021年），英文NSGA文献出现较早，最早出现于2003年（即NSGA-II发表的次年）。但随后4年间（2003—2007）发展比较缓慢，每年的发文量均不超过5篇，可认为处于NSGA地理决策的萌芽阶段。2008—2013年，NSGA在地理决策中受到了更多关注，年论文发表量在9~15篇之间波动。2014年后NSGA在地理决策领域发展迅速，年发文量以约每2年10篇的速度增长。中文文献起步于2010年，2016年以前发文量成逐年增长的趋势，2016年后保持稳定。
图6 NSGA地理决策文献发表年份分布

Fig. 6 Distribution of the publication years of research articles on NSGA-based geographic decision-making

对比所有领域NSGA文献的发表情况，NSGA的初始应用时间为1998年，早于地理决策领域5年。而从起步以来，NSGA在所有领域的应用基本呈逐年上升的趋势，且上升速度与地理决策领域基本一致。但地理决策领域的年发文量不足所有领域的8%。这反映了地理决策领域已捕捉到NSGA系列算法的发展势头，但研究规模尚不广泛。
中文文献的主要来源期刊为《农业工程学报》（频次6）、《农业机械学报》（频次6）、《灌溉排水学报》（频次2）、《环境科学学报》（频次2）、《环境科学与工程前沿》（频次2、《水利学报》（频次2），这些期刊涵盖了50%的中文文献。英文文献的主要来源期刊为《Water Resources Management》（频次59）、《Journal of Hydrology》（频次32）、《Journal of Hydroinformatics》（频次28）、《Journal of Water Resources Planning and Management》（频次27）、《Water》（频次27）、《Water Resources Research》（频次11），共涵盖超过50%的英文文献。中文发表主要集中在农业领域，英文文献则集中在水资源领域。

3.2 NSGA算法在地理决策中的应用现状

通过对文献的梳理，NSGA在地理决策中的多个领域皆有应用。其中，应用最多的为水资源领域，在已检索出的文献中有超80%的文献来自该领域。在土地利用规划和遥感测绘领域也有较多应用。还有个别其它领域的文献，如铜废料管理的优化、多人旅行计划的安排、选址问题[39]等。
具体而言，NSGA在水资源领域的应用以配水系统设计和流域管理优化为主，其它应用主题包括水库调度、洪水管理、地下水质管理、河流排污管理、城市污水系统管理等。在配水系统设计问题中，主流做法为直接采用NSGA进行多目标优化[40⇓⇓-43]。同时，NSGA的优化结果可作为标准，评估配水系统设计算法的性能[44-45]；亦有学者使用NSGA对模型参数进行校准[46]。在流域管理问题中，NSGA的应用研究主题以最佳管理措施选择和布置为主。在这些研究中，通常NSGA与行业模型耦合使用，例如Soil and Water Assessment Tool（SWAT）、Spatially Explicit Integrated Modeling System（SEIMS）[47⇓⇓⇓⇓-52]。这种耦合使用也见于其他主题中，例如NSGA与Storm Water Management Model（SWMM）、BreZo模型等耦合进行城市洪水管理优化[53-54]，与MODFLOW和MT3D耦合进行地下水资源管理[55]。
土地利用规划领域通常直接基于NSGA进行优化，鲜有耦合其它模型。在应用NSGA时，学者们多关注如何将土地数据输入到NSGA中（称为编码，编码结果通常比喻为“染色体”）。由于土地数据通常为栅格形式，因此主流的染色体均为二维矩阵的形式（亦存在自定义格式[56]），矩阵中的每个数值代表对应位置的土地类型。对于矢量形式的土地数据，可以采用固定长度的向量体作为解的编码，其中向量中的每个数值表示一个斑块的土地类型[57]。在进行土地利用优化建模时，每一种类型有对应的属性，例如经济效益、生态效益 等[58-59]，从而可以将整个土地利用方案的总效益值作为优化目标。由于土地利用优化的解空间巨大，因此NSGA的收敛性成为在这些应用研究中的关键考量。
解的科学初始化是提高收敛速度的一个重要方法，主要包括保留土地利用现状的信息和避免违背约束2种方式。例如，Sharmin等[56]的初始化方法为改变土地利用现状中25%的地块，Song等[60]改变土地利用现状中30%的地块，保留70%地块的类型。Cao等[61]要求初始解集中有10%的解为土地利用现状，Wang等[62]将初始种群的5%保留为土地利用现状，95%为随机生成。在避免违背约束方面，Shaygan等[63]在初始种群要求只生成不违背约束的可行解；Maleki等[57]对每一个地块筛选满足约束的土地利用类型，再从中随机选取一个类型作为初始化。但需注意的是，如何平衡解的科学初始化比例和随机初始化比例至关重要、需要深入研究。虽然科学初始化能够帮助提高收敛速度，但随机初始解能够提高种群的多样性[64]。同时也需要注意，通过初始解提高收敛速度的方法，并未提高算法本身的性能。
此外，为了在合理的时间成本内得到尽可能好的解，种群大小的设置也是关键因素。在土地利用规划中，种群大小通常在100以上[60]，有时也可设计预实验选择最合适的种群大小[57]。除了直接利用NSGA对土地利用进行优化，也有对NSGA的间接应用，例如将NSGA用于城乡土地流转元胞自动机模型的参数校准[65]，再如利用NSGA对土地利用的数量结构进行非空间优化[66]。
NSGA还在以下领域发挥作用。在测绘与遥感领域中，NSGA被用于卫星任务规划和星座优化[67⇓-69]、反演模型的设计[70-71]等。在人工神经网络降雨径流模型中，NSGA被选为多目标优化算法的代表参与训练[72]。在模拟住宅位置选择的多智能体模型中，NSGA算法被用于主体方案的选择[73]。潜在应用领域包括环境治理、区域高质量发展研究、地图制图等，如图7所示。
图7 NSGA在地理决策中的已有应用和潜在应用举例

注：蓝色为已有应用，黄色为潜在应用。

Fig. 7 Existing and potential applications of NSGA to geographic decision-making

通过统计和上述分析可以发现，水资源领域在应用NSGA的地理决策中占据压倒性的地位。其中一个重要的原因在于，水资有领域中有大量成熟的模型。例如，在流域优化管理中，有SWAT模型、SVMM模型等，以模型的输出为优化目标。这使得在进行优化前，研究问题已得到凝练，NSGA算法只是求解的工具，研究者不需要再花费大量的精力对研究问题进行建模，降低了算法的使用成本。因此，对于地理决策的其他领域，对问题的总结和凝练会促进优化算法的发展。此外，值得注意的是，在水资源领域，有研究在利用NSGA-II进行优化时加入了额外的局部搜索过程。例如，Chen等[74]将NSGA-II和一种局部搜索方法MADS相结合，前者搜索整个解空间来定位全局最优解，后者在一个小区域内搜索以加快收敛速度。Llanos等[75]将NSGA-II与局部搜索算法单纯形法组合为混合优化算法，从而更好地识别了最优解，同时保留对目标函数的全局探索。因此，局部搜索的加入可能是加快遗传算法收敛速度的重要因素，值得地理决策其它领域借鉴于探索。
值得一提的是，在上述所有中英文文献中，仅19篇文献采用了NSGA-III算法[68,76]，其他文献均采用NSGA-II算法。NSGA-I算法因较古老，未见在地理领域应用。

3.3 面向地理决策的NSGA算法改进

NSGA系列算法作为由数学和计算机领域学者提出的优化算法，其特点是仅从数值计算的角度出发进行优化决策。在实际应用时，需要根据问题特点对数据进行编码。为充分发挥算法的效力，需根据实际问题改进选择、交叉、变异算子。需要说明的是，NSGA的原始文献未对选择、交叉、变异算子的实现进行规定，仅提供了锦标赛选择、模拟二进制交叉、多项式变异供参考。在原始文献中，这些算子的实现与测试函数有关，并非普适的最佳选择。因此，在本节讨论NSGA的改进时，即便文献中未使用上述选择、交叉、变异算子，而是采用其它现有的算子（如单点交叉、单点变异等），均不作为对NSGA的真正改进。此外，初始化算子通常根据研究问题的不同而有不同的设计，其属于NSGA的应用方法、同样不视为改进。只有文献中基于研究问题重新设计了选择、交叉或变异算子，才视为对NSGA进行了改进。
根据上述原则判断，仅有少数文献对NSGA进行了改进。改进NSGA的地理决策问题多源自土地利用规划领域，以针对交叉和变异算子的改进为主[61,63,77]。这是由于土地利用规划问题中特殊的二维矩阵编码方式，导致大多数交叉和变异算子无法直接使用，需设计有针对性的算子。这些算子通常也是基于栅格形式计算的。例如，Cao等[61]基于特定大小和形状的斑块设计了交叉和变异算子，通过交换2个斑块内的土地利用类型和随机改变斑块内的土地利用类型来进行交叉和变异。Song等[60]的交叉算子是基于一种特定的栅格：边界栅格（其邻域中包含与本身类型不同的栅格）进行的，将两个解的边界栅格的类型互换，以实现交叉；其变异算子也是基于斑块进行的，随机选取斑块，将其中所有栅格变为同一种类型。Wang等[62]提出了基于 3 × 3栅格窗口的交叉和变异算子。在遗传算法中，交叉概率通常大于0.5，而变异概率通常为0.01左右。对于选择算子，多数文献采用锦标赛选择，也有部分文献对选择算子进行改进，例如Hooshyaripor等[53]改进了NSGA-II中种群多样性的评估方法，形成新算法HNSGA-II。除了改进算子，还存在其它类型改进研究。例如将“无参数遗传算法”等已有的遗传算法的思想引入NSGA-II，简化了NSGA-II的过程，从而减少用户输入的参数[78]。为了评估不同的改进型NSGA在土地利用规划中的效果，Gao等[79]提出了系统的算法评价体系。

4 讨论与展望

4.1 讨论

根据上述分析，当前NSGA在地理决策中的应用较为局限。作为数学优化算法的主流和前沿，地理决策未能赶上首代NSGA（即NSGA-I）的潮流，从NSGA-II开始才始有关注。地理决策研究中，对NSGA-II的应用起步较早，始于算法问世的次年。NSGA-II适用场景广泛，计算效率高，得到了广泛的应用。NSGA-III于2013年发表，是针对超多目标优化提出的算法。但由于将实际问题建模为超多目标优化问题较为困难，同时NSGA-III的计算效率也不及NSGA-II，所以NSGA-III的应用推广比较缓慢，直到2020年才首次应用于地理决策[68]。这一方面反映了NSGA-II是NSGA系列中最为流行的版本，同时说明地理学研究对于算法发展前沿的追赶和更新是相对滞后的。
地理决策通常具有复杂性，对复杂系统进行研究时往往要涉及多个目标、多个影响因素之间的权衡与斟酌，因此多目标优化在地理决策和整个地理学中具有重要的理论意义和应用前景。与模拟决策方法相比，以NSGA为代表的优化方法，可以向决策者展示最优的状态是如何达成的，通过与现状形成对比的方式为决策提供支撑、为实施提供指南。模拟决策方法则更侧重于判断不同情景下状态的变化，从而明确合适的发展情景。相较之下，优化方法能为决策者提供最优参考，明确决策的目标。NSGA作为多目标优化遗传算法，具有使用限制少、搜索范围广的特点，适合进行地理决策。NSGA在多领域的广泛应用证实了其有效性。但是受制于较为复杂的数学原理，NSGA在地理学推广较慢。随着信息地理学的蓬勃发展[80]，NSGA在地理学中的关注正在增强。应用于复杂地理问题时应关注NSGA的运行效率，建议采用云计算等手段[81-82]优化效率；同时，应关注如何将复杂的地理问题转换为具有针对性的优化目标和限制条件（如熵[83]）。目前关于NSGA的研究集中在地理学的少数分支中，且在这些分支中也尚处于“各自为政”的探索阶段。对NSGA的应用和改进研究只能解决特定问题，尚未出现较为“普适”的地学NSGA算法。
此外，目前已有的应用NSGA的地理决策研究中，NSGA的应用领域比较集中。水资源领域、测绘与遥感领域、土地利用规划领域的NSGA研究占总文献数量的90%，仅水资源领域的文献就达到了总量的80%。这既说明了这些领域NSGA的蓬勃发展，同时也反映了地理学其他领域对NSGA算法研究的缺失。在NSGA应用最广泛的水资源领域，算法的应用发展较成熟，其经验值得推广和借鉴。该领域中的文献常将NSGA与其行业模型进行耦合使用，或利用NSGA对行业模型进行科学校准或改进。此外，水资源领域中常将NSGA与文献提出的新算法进行对比，以证明新算法的有效性和先进性。相比水资源领域，土地利用规划领域虽对NSGA应用数量不多，但却是改进算法最成功的领域，成为改进NSGA进行地理决策的典范。土地数据通常是栅格形式、数据量大、自相关性强，导致在进行优化时存在较高的内存占用、较大的CPU需求，并导致解空间巨大、搜索难度增加。在此研究背景下，NSGA的成功应用和诸多改进增强了实现其它地理决策的信心，也引发了土地规划的新潮流。未来可在土地利用领域的继续推广NSGA系列算法，以期推动与实现优化算法与地理问题、地理方法的融合，成为地理学的特色。
目前NSGA-III在地理决策中鲜有应用。相比发表次年就得以应用的NSGA-II算法，发表7年才在地理决策首次得到应用的NSGA-III算法发展较为迟缓。NSGA-III相对II具有明显优势，即支持超多目标（10~15个）的高效率优化，使得其更适用于真实问题的求解、更适用于真实的地理决策问题。但同时NSGA-III对研究人员的数学功底和对地理决策问题的理解要求更高，需从实际问题中抽象出超多目标并进行量化，难度较大。

4.2 展望

为更充分地发挥NSGA系列算法在地理决策中的作用，建议在未来研究中进一步提升算法可用性。根据国际标准化组织定义[84]，可用性分为有效性、效率和用户满意性三大方面。对于基于NSGA的地理决策而言，其瓶颈在于NSGA的效率（收敛速度）和用户满意性（使用门槛等）。收敛慢实际上是包括NSGA在内的所有遗传算法的共有局限，未来可借助局部搜索方法改进NSGA，从而提升效率。
在用户满意性方面，建议凝练地理决策中的常见问题、共性问题，构建通用的、可扩展的优化模型。同时，基于通用模型，开发用户友好的地理优化集成平台，从而降低算法的使用门槛和成本。设计扩展接口，使通用模型能够支持更具体化、多样性的地理决策。
此外，在应用方向上，建议将NSGA算法融入地理过程模拟中，帮助模拟过程中的参数设定，在降低模拟迭代次数的同时提升模拟效果。在该融合过程中，NSGA算法的效率依然是核心问题，需要平衡模拟算法的效果和优化算法的收敛速度。

5 结语

本文综述了NSGA系列算法的发展历程和历代差异、基于NSGA系列算法的地理决策现状、以及面向地理决策的NSGA改进算法，并对未来研究方向进行了展望。通过综述发现，NSGA系列算法更新换代较快、适用范围愈发广泛，但算法的理解难度、应用于地理决策的门槛也随之增加。在已有的三代NSGA算法中，NSGA-II是目前在地理决策中最为流行的算法。NSGA-III功能最为强大，但在地理决策中鲜有应用。同时发现，NSGA系列算法作为数学领域的多目标、超多目标优化算法，在深度应用于地理决策时往往需要耦合地理学的专业模型、需要针对地理学问题进行专门化的改进和优化。尽管NSGA系列算法在地理决策中的应用与耦合有待加强，但已有案例已证明NSGA系列算法的巨大潜力。建议地理学者增强对NSGA系列算法等数学领域新进展的研究、应用与改进，以期在新时代使地理学对科学进步和国家发展的贡献更加坚实有力。

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