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Journal of Geo-information Science >

2024 , Vol. 26 >Issue 4: 915 - 926

DOI: https://doi.org/10.12082/dqxxkx.2024.230768

Balancing Service Efficiency and Equality in Location Models: Research Progress and Prospects

  • LIAN Chenchen , 1 ,
  • ZHANG Guangli 1 ,
  • KONG Yunfeng , 1, 2 ,
  • ZHAI Shiyan 1, 2
Expand
  • 1. College of Geography and Environmental Science, Henan University, Kaifeng 475004, China
  • 2. Key Laboratory of Geospatial Technology for the Middle and Lower Yellow River Regions, Ministry of Education, Henan University, Kaifeng 475004, China
* KONG Yunfeng, E-mail:

Received date: 2023-12-26

  Revised date: 2024-01-26

  Online published: 2024-05-11

Supported by

National Natural Science Foundation of China(41871307)

Postgraduate Cultivating Innovation and Quality Improvement Action Plan of Henan University(SYLYC2022012)

Fold

Abstract

Efficiency and equity are two most important concepts in public services. Public facility locations play a critical role in the delivery of quality services in a convenient and equitable manner. In this paper, the facility location problems considering efficiency and equity are reviewed, and the further research on equitable aggregation functions is suggested. Firstly, the concepts of service equity, spatial equity, and service efficiency in public services are analyzed. The commonly used indicators of spatial equity are redefined mathematically by introducing the weight of service demand. Secondly, according to the key principles of model formulation, three approaches to handle spatial equity of service in location modeling are briefly summarized. The first approach directly uses one of the inequality indicators, as an objective or a constraint, in the mathematical model. Based on Rawls' fairness principle of "veil of ignorance", the second approach uses a well-designed ordered weighted distance function to construct an order median model. Following the sociological principle of "inequity aversion", the third approach uses equitable aggregation functions that take into account both efficiency and equity concerns. The monotonicity, anonymity, and Pigou-Dalton principles of transfers are the essential standards to formulate an equitable aggregation function. An aggregation function that weakly satisfies monotonicity, or the Pigou-Dalton principle of transfers is also acceptable in facility location modeling. Thirdly, several research directions are suggested to overcome the limitations of existing location models. Based on the concept of spatial envy of service, a general inequity-averse aggregation function, which weakly satisfies the criteria of equitable aggregation, is recommended for public facility location modeling. Theoretical analysis shows that the aggregation function has serval advantages: easy to formulate a new location model, relatively easy to solve the new model, and effective to increase the spatial equity by slightly increasing the average travel distance. Finally, it is encouraged to explore the general relationships between service cost, spatial access to service, and spatial equity, which are fundamental for public service evaluation, improvement, and decision making.

Key words： public service; location problem; spatial equality; mathematical model; equitable aggregation functions; spatial envy; Pigou-Dalton principle of transfers; improved P-median problem

Cite this article

LIAN Chenchen , ZHANG Guangli , KONG Yunfeng , ZHAI Shiyan . Balancing Service Efficiency and Equality in Location Models: Research Progress and Prospects[J]. Journal of Geo-information Science, 2024 , 26(4) : 915 -926 . DOI: 10.12082/dqxxkx.2024.230768

1 引言

兼顾公平与效率的公共资源配置受到学界、决策者和公众的长期关注。随社会经济的不断发展，在强调服务供给、服务效率的同时，公共服务公平性越来越受到全社会的关注，成为公共服务体系评价、服务设施布局规划、服务资源配置决策、公共服务政策制定中的一个基本要求。国际15分钟城市和国内15分钟社区生活圈以构建绿色、低碳和健康的城市生活环境为目标，高效而公平的服务设施布局是其核心任务之一。几十年来，我国的公共服务事业不断发展完善，但仍然存在供给不充分、区域不平衡等问题。因此，我国“十四五”公共服务规划提出了“需求全覆盖，质量全达标；便利可及，均等享有；尽力而为，量力而行”的规划目标，在提升服务数量和质量的基础上，兼顾服务空间可及性和空间公平性。毋容置疑，空间公平性已经成为规划、评价公共服务体系的一个核心指标。
学界发展了众多的区位模型，旨在满足设施布局规划的基本要求，达到最优的布局目标。从设施布局规划的角度，公共服务公平与效率体现在3个方面：如何以最小的供给成本提供满足质量和数量要求的服务，如何合理地进行设施选址提升使用服务出行的便捷性，以及如何尽可能地降公共服务的不公平性。纵观20世纪50年代以来区位模型的研究进展，可以发现：主流区位模型注重效率，将最小化服务出行距离、最小化设施成本或最大化设施利用作为目标，特别注重服务效率；少数模型关注服务公平性，将减少服务不公平性作为模型目标或者目标之一，在公平性建模理论、模型构建与应用研究方面取得了一定的进展。
本文针对公共服务设施布局规划需求，尝试对空间公平性相关的区位问题进行回顾和展望。首先，辨析公共服务空间公平性的概念，总结空间公平性的度量方法。其次，归纳空间公平性区位模型的建模原理、理论探索和应用实践，重点总结相关研究进展和面临的挑战。第三，尝试改进有序距离加权函数，并将其一般化，目标是：模型简单、易于计算且应用有效；并讨论将新函数用于改进P中值问题的可行性。

2 公共服务空间公平性

2.1 空间公平性概念辨析

公平性这一概念的内涵极其丰富。首先，公平性概念存在于政治、经济、法律、公管、教育、地理、心理等众多的学科领域，是这些学科关注的基本问题之一。其次，中文“公平”、“均等”、“平等”、“公正”等词汇，以及英文“equity”、“equality”、“fair”等词汇，不仅公众常常在日常生活中混用，学者在学术讨论中也会混用。第三，即使在同一学科领域，对于公平性的基本定义、度量方法也存在较大的差异，其内涵随着社会发展也不断演化。基于以上认识，本文仅从公共服务布局的角度理解服务公平性。
公共服务公平性是指社会中各个群体都能够公平地获得和享受公共服务和资源。公共服务公平性定义极其多样，通常被理解为投入公平、过程公平、产出公平和结果公平[1]。投入公平也常常被理解为获取服务公平、机会公平或资助公平；结果公平指不同人群获得同等对待得到相近的结果，或者不同社会地位、经济收入、人口特征和地理区域的人群间不存在明显的差异。投入公平被称为横向公平，指投入均等；结果公平被称为纵向公平，指区别对待不同需求的人群，从而达到均等的结果。
公共服务空间公平性指区域内部不同位置或社区的人群在接收公共服务、资源和机会方面的均等性，属于投入公平性范畴。目前主流的公平性区位模型追求服务出行公平、机会公平性或者横向公平，而对纵向公平考虑不多。在这些文献中，通常将出行距离均值作为效率指标，而把出行距离差异度作为公平性指标。应当注意到，横向公平是初级公平性，提升服务空间公平性也有利于实现纵向公平（即产出公平和结果公平）。
公共服务领域，服务成本、公平与效率之间关系复杂[2]。从设施布局规划的角度，一般地理解，设施的数量、规模和位置与服务供给成本、公众出行距离和获取服务公平性密切相关。合理地降低设施数量和规模有利于提升服务效率。减少居民出行距离也被认为是服务效率提升，而降低不同区位居民出行距离的差异度，被认为是服务空间公平性提升[2]。服务供给成本保持不变，出行成本降低了，意味着总成本降低，服务效率有所提高。公平与效率之间关系复杂，不少公平指标会严重扭曲效率指标，导致无效率的公平。例如，平均出行距离越大，基尼系数和标准差可能越小；另一方面，对于公平与效率双目标优化，Pareto最优解集中存在一些“公平有效”的解，即公平与效率能够得到一定程度的均衡；“公平有效”解隶属于Pareto最优解集，但最优解集中的解不一定“公平有效”[3⇓-5]。

2.2 空间公平性度量指标研究进展

在社会学领域，公平性的度量方法很多，通常是对总体样本进行统计，或者使用样本数据对总体统计值进行估计。在设施布局方面，空间公平性基于出行距离分布进行度量，常常被定义为所有人出行距离的某一统计量，如平均偏差(MAD)、Schutz指数(SI)、标准差(SD)、变异系数(CV)、绝对差异(AD)、基尼系数(GC)等指标[6-7]。
令m个区位需求量集合 W = { w 1 , w 2 , … , w m }，获取服务出行距离集合 D = { d 1 ,   d 2 ,   … ,   d m }， d - = ∑ i = 1 m w i d i / ∑ i = 1 m w i，常见空间公平性指标定义见表1。多数文献中，为方便讨论公平性指标的性质，往往不考虑需求权重 w i，本文公平性指标的定义考虑了需求权重。
表1 常见空间公平性指标

Tab. 1 Commonly-used spatial equity indicators

指标 公式 编号 意义
最大值(Max) M a x = m a x d i （1） 最大距离
区间(RG) R G = m a x d i - m i n d i （2） 最大最小距离之差
最大偏差(MD) M D = m a x d i - d ¯ （3） 出行距离与距离均值的最大偏差
平均偏差(MAD) M A D = ∑ i = 1 m w i | d i - d ¯ | / ∑ i = 1 m w i （4） 所有需求点出行距离与距离均值偏差的均值
Schutz指数(SI) S I = ∑ i = 1 m w i | d i - d ¯ | / d ¯ ∑ i = 1 m w i （5） 标准化平均偏差
方差(VAR) V A R = ∑ i = 1 m w i ( d i - d ¯ ) 2 / ∑ i = 1 m w i （6） 所有需求点出行距离与均值的偏离程度
标准差(SD) S D = ( ∑ i = 1 m w i ( d i - d ¯ ) 2 / ∑ i = 1 m w i ) 0.5 （7） 方差的平方根
变异系数(VC) VC= S D / d ¯ （8） 标准化方差
绝对偏差(AD) A D = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m w i w j | d i - d j | （9） 所有需求点间出行距离差异之和
Gini系数(GI) G I = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m w i w j | d i - d j | / 2 ∑ i = 1 m w i ∑ i = 1 m w i d i （10） 标准化绝对偏差
Theil指数(TI) T I = ∑ i = 1 m w i d i l o g d i / d ¯ / d ¯ ∑ i = 1 m w i （11） 需求点出行距离与距离均值间的差异程度

注：公式中各变量含义见本文2.2节。

需要注意的是，文献中有更多的空间公平性指标定义[6⇓⇓-9]，表1所列仅为常用的空间公平性指标。空间公平性具有尺度特征，如区域间公平性、区域内分区间公平性，以及区位间公平性。本文针对服务设施布局规划，所定义公平性特指区位间公平性。区域间公平性、分区间公平性往往被理解为各区域服务投入、供需比、服务质量等方面的差异。另外，社会科学特别注重不同种族、经济收入、性别、年龄人群间的服务公平性，但目前主流的公平性区位建模注重区位间公平，强调“匿名性”原则[10]，未顾及人群间服务差异性。若决策者关注不同区域间或不同人群间的服务公平，可通过约束条件降低其差异程度。
公平性指标是否满足Pigou-Dalton转移规则(PD转移规则)对于公平性区位建模具有重要意义[11]。令某一问题解向量 y = y 1 , y 2 , … , y n，对于任意元素i和j，若 0 < ε < y j - y i且最小化不公平目标函数 F y 1 , y 2 , … , y n > F y 1 , y 2 , … , y i + ε , … , y j - ε , … , y n，称函数 F严格满足PD转移规则。公平目标函数满足这一规则，意味着在效率指标保持不变的情况下，公平性指标能够得到改善。指标MAD、VAR、SD、AD和GC均满足PD转移规则。需要注意的是：仅仅满足PD转移规则仍不足以平衡服务公平与效率，因解向量中任意元素 y i改变时，效率指标和公平指标变化方向并不一致。例如，效率指标变好时，MD、RG变好或保持不变，而MAD、VAR、SD、AD、GC既可能变好也可能变差；效率指标变差时，MD、RG变差或保持不变，而MAD、VAR、SD、AD、GC既可能变好也可能变差。公平指标是否满足PD转移规则对于选择公平指标进行区位建模具有指导意义。
文献[6]-文献[7]系统地总结空间公平性指标的基本特征，用于指标使用选择。① 计算复杂度：区位模型中，很多指标(如VAR、GC)计算复杂度通常很高。② 应用适宜性：从管理角度，指标是否易于理解，是否反映社会诉求和决策者偏好。③ 公正无私：指标与人群划分无关，所有人平等对待。常见公平性指标均符合该要求。④ PD转移规则：将任一高收入者部分收入转移给较低收入者，保持前者收入仍高于后者，收入公平性将得到改善。⑤ 尺度不变性：公平性指标可划分为绝对值指标(Max、RG、MD、MAD、VAR、SD)和相对值指标(SI、VC、GC和TI)。相对指标具有尺度不变特征，可以相互比较，而绝对指标随尺度而变化，具有一定的物理意义。⑥ Pareto最优性：当一个或多个需求区位得到改善时，新解优于当前解。

3 空间公平性区位建模研究进展

最大化公平性或最小化不公平性常用于资源分配、设施布局、车辆运营、人员调度等领域。这些领域公平性优化的共性问题包括：如何选择公平性指标，如何建立优化模型平衡公平与效率，以及如何求解公平性模型。根据建立模型遵循的原理，空间公平性区位模型的建模思路可以划分为3大类：直接使用公平性指标构建模型[12⇓⇓⇓⇓-17]、基于罗尔斯主义正义性原则的有序中值问题[18⇓-20]和基于社会学不公平厌恶原理构建公平性聚合函数作为目标函数[5,10,21]。本节对于以上3种建模途径分别进行回顾。

3.1 直接使用公平性指标

直接使用公平性指标进行区位建模的思路简单。有3种方式直接使用公平性指标：优化某一公平性目标函数、将公平性函数作为多目标优化的一个目标，以及使用公平性约束条件。例如，文献[22]- 文献[24]将方差VAR作为目标函数；文献[25]将基尼系数GC作为目标函数；文献[26]将平均偏差MAD作为目标函数；文献[13]将绝对差异AD作为目标函数；文献[27]将最大区间RG作为目标函数。文献[13]比较了7个指标的差异：Max、RG、MAD、VAR、GC、TI和Hoover集中指数。文献[17]比较了10个指标的相似性：Max、RG、MAD、VAR、MD、AD、SMDA(最大差异之和)、SI、VC和GC。
令集合 I = { 1,2 , … , n }表示 n个候选服务设施区位，设施 i ( i ∈ I )有最大服务容量 s i和固定成本 f i；集合 J = { 1,2 , … , m }表示 m个空间单元，单元 j ( j ∈ J )的服务需求量为 w j；空间单元 i与单元 j之间的距离为 d i j。定义布尔型决策变量 x i j为是否指派设施 i服务需求单元 j；布尔型决策变量 y i表示是否在区位 i建设施。以公平性为目标的无容量约束公平性区位模型构建如下。
M i n i m i z e :   f ( d i j , w j , x i j )
S u b j e c t   t o :   ∑ i ∈ I x i j = 1 , ∀ j ∈ J
x i j ≤ y i , ∀ i ∈ I ,   j ∈ J
∑ i ∈ I y i = P
∑ i ∈ I d i j x i j + M - d i j y i ≤ M ,         ∀ i ∈ I , j ∈ J
x i j , y i ∈ 0,1 , ∀ i ∈ I ,   j ∈ J
目标函数 f ( d i j , w j , x i j )可以采用上节所列的公平性指标。因不能直接使用决策变量 x i j构造线性函数，模型需要引入额外的决策变量和约束条件[17]，也因此大幅增加模型的计算复杂度。优化某一公平性目标函数时，某些公平性指标(如MAD、SD、GC等)会严重扭曲出行距离，为此需要在模型中加入平均距离约束条件[24]，或者在无容量约束的模型中要求将需求点指派给最近设施[17]。约束条件（16）将需求点指派到最近的设施。
兼顾空间公平性的多目标区位问题建模思路简单。通常在常见区位问题中增加一个公平性目标，直接使用多目标优化算法框架，获得Pareto最优解集。公平指标的选择对于多目标优化的结果影响很大。在公平与效率双目标优化框架中，某些公平性指标与效率指标发生冲突时，Pareto最优解集中部分解的公平指标很好但效率指标很差，导致模型结果不可用。常规多目标优化中，各目标之间通常不具备可比性；但在多目标区位问题中，公平与效率目标之间具有可比性，因表征公平性的SD、MAD等指标本质上是距离指标，与表征效率的出行距离量纲一致。认识到公平性区位模型这一特征，文献[4]提出了“公平有效”概念，从理论上分析了获得“公平有效”区位方案的可能性。当平均距离与公平指标函数满足一定的数学特征时(见3.3节公平聚合函数)，两者在理论上能够得到均衡。
为区位模型增加特定约束条件也是提升公平性的基本方法。在经典模型中增大最大出行距离约束[28]能够显著地改善服务水平，特别是那些居住地较为偏远的人群。针对生活圈设施布局规划，文献[29]—文献[30]引入设施服务半径达标率( r和 μ)和最大半径( r m a x)等规划参数，构造相应的约束条件，改进经典的设施区位模型，多个案例研究表明该模型能显著地改进服务公平性指标。该模型还引入软约束条件，方便模型求解，并增加模型的可用性，模型如下：
M i n   ∑ i ∈ I f i y i + ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J w j x i j c i j + α ∑ i ∈ I H i + α ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J , d i j > r m a x w j x i j + α z
S u b j e c t   t o : ∑ i ∈ I x i j = 1 , ∀ j ∈ J
∑ j ∈ J w j x i j ≤ s i y i + H i , ∀ i ∈ I
∑ i ∈ I ∑ j ∈ J , d i j ≤ r w j x i j + z ≥ μ ∑ j ∈ J d j
x i j , y i ∈ { 0,1 } , ∀ i ∈ I , j ∈ J
z , H i ∈ 0,1 , 2 … , ∀ i ∈ I
模型中，不等式(21)为达标率约束。目标函数(18)中， α为数值较大的惩罚系数，对于违背最大服务半径约束( d i j > r m a x)、容量约束( H i )、达标率约束( z)进行惩罚。该模型能截断出行距离分布曲线的“长尾”，约束偏远区域人群出行距离；达标率约束强制改变距离分布频率曲线，有利于提升空间公平性指标。

3.2 使用有序距离加权函数

公共服务体系中，平均服务水平提升不意味着公平性提升。一个社会中，总有少数人处于劣势，总体服务水平提升能使更多人受益，但总体平均改进不等于公平性提升。因此，改善处于劣势的人群服务水平能够提升服务公平性。这一思路符合罗尔斯“无知之幕”(Veil of ignorance)正义性原则。最小化最劣区位的P中心问题(P-center problem)[31]致力于改善最差的需求区位，常用于公共服务设施布局规划。该模型仅考虑最劣区位，未考虑其他众多的区位，针对这一局限，P中心问题可扩展为最小化k个最劣区位出行距离的k-centrum问题[32]。更进一步，该问题一般化为有序中值问题(Ordered Median Problem, OMP)[18-19]。该问题的核心思想是对所有区位服务出行距离进行排序，将有序距离加权之和作为目标函数，被某些学者认为能够获得最公平的规划方案[10]。定义变量 x i j k为设施 i是否服务 j且距离排序为第 k，根据文献[19]，一个OMP模型定义如下：
M i n i m i z e   ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J ∑ k ∈ J λ k d i j x i j k
S u b j e c t   t o :   ∑ i ∈ I ∑ k ∈ J x i j k = 1 , ∀ j ∈ J
∑ i ∈ I ∑ j ∈ J x i j k = 1 , ∀ k ∈ J
∑ j ∈ J ∑ k ∈ J w j x i j k ≤ s i y i , ∀ i ∈ I
∑ i ∈ I y i = P
∑ i ∈ I ∑ j ∈ J d i j x i j k ≤ ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J d i j x i j k + 1 ,   ∀ k ∈ j , k < n
x i j k , y i ∈ 0,1 , ∀ i ∈ I , j ∈ J , k ∈ J
模型中，出行距离排序通过约束式(29)完成。若考虑需求区位的需求量，目标函数中可以加入需求权重，即 ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J ∑ k ∈ J λ k w j d i j x i j k。因变量 x i j k数量庞大，排序约束(29)包含的变量很多，导致模型具有很高的求解难度。
灵活设置不同的距离权重，OMP可以具体化为某个专题区位问题。例如，权重向量为(1,1,1,…,1,1,1)时，OMP等价于P中值问题(PMP)；向量为(0,0,0,…,0,0,1)时等价于P中心问题；向量为(α,α,…,α,1)(0<α<1)时等价于α-centdian问题[33]；向量为(0,…,0,1,…,1)(最后k个值为1)时等价于k-centrum问题。也有学者不指定k值，而是最小化最劣 β %人群的出行距离[34]。文献[20]选择权重向量为 (λ,…,λ,1,…,1)，称该问题为公平设施区位问题(FFLP)。该权重向量使出行距离目标与 β %人群最劣区位的平均距离加权聚合，权重分别为λ和1-λ，通过λ值平衡出行效率和公平性。该作者为FFLP设计了一个核搜索算法，并测试了一组较大规模案例，分析了参数λ的敏感性，并用于一个区域的新冠监测点布局规划。FFLP模型简单、算法高效，且能够应用，但也应当注意到它的局限性：假设各区位需求量相同，且设施无容量约束。

3.3 构造公平聚合函数

公平聚合函数，也称为不公平厌恶聚合函数，是用于均衡公平与效率的目标函数。令某一问题解向量 y = y 1 , y 2 , … , y n，公平聚合函数 F y 1 , y 2 , … , y n要满足3个条件[4-5,10]。① 严格的单 调递增：对于任意元素 i和 ε > 0，函数 F y 1 , y 2 , … , y n < F y 1 , y 2 , … , y i + ε , … , y n总成立。 ② 匿名性(与特定个体无关)：对于 y的任意排列 ∏ l ( y )， F y = F ( ∏ l ( y ) )。③ 严格的PD转移规则：令某一问题解向量 y = y 1 , y 2 , … , y n，对于任意元素 i和 j，若 0 < ε < y j - y i，最小化不公平目标 F y 1 , y 2 , … , y n > F y 1 , y 2 , … , y i + ε , … , y j - ε , … , y n总是成立的。
为使最小化不公平目标与最小化距离目标不发生冲突，文献[9]探讨了公平指标与效率指标相“兼容”的可能性，即对于2个解 y '和 y ″，若 y '优于 y ″且 μ y ' + α ϱ y ' ≤ μ y ″ + α ϱ ( y ″ )，则公平函数 ϱ与效率函数 μ兼容。该作者通过理论分析证明了9个公平性指标与效率目标能够兼容：SD、SD+、MAD、MAD+、MD、RG、AD、最大差异和K最劣均值。带符号“+”的指标表示该指标仅考虑 d i - d ¯为正值的情形。不同的指标， α取值范围不同。
前节OMP模型中，如果合理地设置权重，如权重 λ k单调递增，目标函数将严格满足公平聚合函数基本条件。类似地，按出行距离偏差值( | y i - y - |)进行排序，再加权求和，可以构造一个公平目标函数[35]。文献[21]构造了一个不公平厌恶聚合函数，将出行平均距离与基尼系数加权聚合，用于随机需求避难所选址。作者声称该聚合函数满足公平聚合函数3个条件，但没有给出数学证明。
尽管有严密的理论基础，构建公平聚合函数并不容易，严格满足公平性聚合基本条件的实用性函数还很罕见。若构造一个目标函数能够“弱满足”公平聚合条件，在实践中也具有应用价值。相对于严格满足，“弱满足”指 F y 1 , y 2 , … , y n ≥ F y 1 , y 2 , … , y i + ε , … , y j - ε , … , y n。部分不公平性指标可以用于构建聚合函数，“弱满足”公平聚合条件，例如：平均距离与最大距离聚合( λ ∑ i = 1 n y i + 1 - λ m a x ( y i ))，平均距离与k-centrum目标函数聚合( λ ∑ i = 1 n y i + 1 - λ ∑ i = n - k + 1 n y i)，其中 y i需按升序排序。
使用公平聚合函数作为区位问题目标函数，需要注意几个基本事实。① 构造严格满足公平聚合条件的函数并不容易，选择的指标既要满足决策者的偏好，又必须证明其满足严格单调递增和严格的PD转移规则。② 聚合函数中各部分如何加权也是一个难题，合适的权重才能够有效地平衡出行距离和空间公平性。例如，OMP目标函数中，不同的权重选择对优化结果影响很大。③ 与经典区位模型相比，公平聚合目标函数将大幅度增加模型的计算复杂度，增加了求解难度。④ 公平聚合函数最优解隶属于公平与效率双目标的Pareto最优解集，随目标函数中权重设置选择Pareto最优解集中某一个“公平有效”解。⑤ 有些聚合目标函数不能严格满足PD转移规则，但能够“弱满足”这一规则，此时的聚合函数也具有可用性，这可为构建公平性区位模型提供新的路径。

3.4 空间公平性区位建模总结

20世纪80年代以来，公平性区位问题理论研究取得了显著的进展。学者发展出了空间公平性区位建模的基本途径：直接使用公平性指标，符合罗尔斯“无知之幕”原理的有序中值问题，以及符合社会学“不公平厌恶”原理的公平性聚合函数。有序距离加权建模既符合罗尔斯主义公平原则，也能够有效降低“不公平厌恶”，被认为是“最公平”资源分配方案[10]。公平与效率双目标优化与最小化不公平厌恶聚合函数，均要求距离与公平指标聚合函数满足严格单调、匿名性和严格满足PD转移规则，从而均衡公平与效率，获得“公平有效”的设施布局方案。3种常见的公平区位建模途径比较见表2。在实际应用中，聚合函数若具有递增性(非严格的单调递增)且不违背(“弱满足”)PD转移规则，也能够用于公平性区位建模。
表2 3种公平区位建模途径比较

Tab. 2 Comparison of three approaches to equity-related location problems

建模途径 公平与效率目标优化 有序中值问题 公平聚合函数
理论基础 基于Pareto最优理论，选择效率指标和空间公平指标作为目标函数 基于罗尔斯主义无知之幕原理，减低若干最劣区位的出行距离 基于社会学不公平厌恶理论，目标函数满足单调性、匿名性和PD转移规则
模型特征 ①公平指标与效率指标内在冲突，Pareto解集中存在大量低效解，浪费计算时间；
②为获得“公平有效”解，需要引入效率指标约束条件，或者公平性目标函数需要满足若干数学性质		 ①建模重点在于出行距离排序及其权重设置；
②需要引入额外的决策变量和约束条件，模型计算复杂度很高；
③模型结果与权重设置关系密切，实际应用中如何确定权重尚无共识		 ①构造的目标函数需要从数学上证明其是否满足公平聚合基本要求，也需要设置适当的权重参数；
②理论分析较多，满足此要求的实际模型及实际应用罕见
公平性模型建立后，模型求解也是一个挑战。直接优化公平指标，求解模型(1)—模型(6)的效率很低。对于 | I | = | J | = 60的案例， P = 2时，使用CPLEX 12.8优化器，最小化GC需要4 022 s，最小化VC需要1 588 s，最小化SI需要1 033 s；当 P = 10，2 h时间内，最小化GC、VC和SI均得不到最优解[17]。基于有序中值问题构建的FFLP模型，文献[20]针对 I = J = 100 ~ 900和 P = 5 ~ 140的测试案例，CPLEX 12.8优化器平均需要6 463 s获得最优解或较为满意的解，MIPGap值平均为5.22%。文献[21]构建的随机需求区位模型，采用距离与基尼系数聚合函数，对于 I = 16 ~ 50 ， J = 50，包含50~200个随机场景的56个测试案例，CPLEX 12.5计算时间 限制为2 h，45个案例获得最优解，7个获得可行解，4个未获得可行解，平均计算时间为3 060 s。以上模型求解质量和求解时间表明，公平性区位模型计算复杂度极高。
值得一提的是：两步优化改进可达性方法(2SO4SAI)越来越受到重视[36⇓⇓⇓⇓-41]。该方法以两步移动搜索(2SFCA)可达性分析为基础，首先使用MCLP或PMP模型选择设施区位，再以最小化可达性方差为目标分配公共资源。该方法能够较为公平地分配资源，应用于某些公共服务设施规划。但该方法仍以效率为目标进行设施选址，在第一阶段未顾及服务出行的空间公平性。案例应用表明，资源分配结果受距离阈值参数影响很大。如何更公平地选择设施区位以及如何设置距离阈值等问题仍需进一步研究。
纵观几十年的研究进展，公平性区位问题研究进展不大[40]，空间公平性区位模型研究多局限于理论分析，实证分析和实际应用薄弱。① 为便于理论分析，多数模型不考虑设施服务能力限制，很多模型假设各区位的需求相等，这将限制模型的实际应用。② 与经典区位模型相比，空间公平性模型通常需要引入额外的决策变量和约束条件，加上公平目标函数比效率目标函数结构复杂，空间公平性区位模型的计算复杂度极高，导致公平性模型求解算法仍不够成熟，罕见空间公平性设施布局规划工具。③ 学术界和产业界对于公平性设施布局规划的认知差异巨大，对于服务公平性内涵、公平与效率关系、公平性规划目标与指标选择等方面缺乏共识，尽管探索公共服务公平性的研究成果极其丰富，目前仍罕见易于建模、计算和应用的一般化空间公平性区位模型。

4 公平性区位建模展望

4.1 构建公平性聚合函数思路

如何构建公平聚合函数是公平性建模面临的第一个挑战。现有研究表明，大多数常用公平性指标严格满足PD转移规则，部分指标“弱满足”这一规则。这一特征表明：在出行效率保持不变的前提下，有可能提升公共服务的公平性。然而，大多数常用公平性指标不满足单调性特征，当个体服务水平变化时，服务效率改变方向与公平性改变方向趋势不一致。这也可能导致公平指标严重扭曲效率指标。构建公平性聚合函数为公平性建模提供了一个建模方向。对于解向量 y，合理地选择公平性指标 ϱ y与效率指标 μ y，二者加权求和，新函数 μ y + α ϱ y能够平衡公平与效率指标[4-5,9]。
理论上存在用于区位模型的公平性聚合函数，但构造一个具有操作性的聚合函数并不容易。最简单的聚合函数形式是有序距离加权函数，如文献[20]将出行距离与 β %最劣区位的平均距离加权聚合，完成了公平模型构建、求解算法设计、案例测试、参数敏感性分析以及一个实际应用。然而，该模型与实际应用仍有差距。① 模型中假设各区位需求量相等，如何修订模型适用于需求不相等情形。若简单地将一个需求区位分拆为多个区位，模型变量、约束条件数量级数级增长，将导致模型求解极其困难。② 模型未考虑设施容量，中小案例的求解时间约为1 h，考虑设施容量及区位需求差异后，模型计算时间难以预测。③ 模型结果对于参数 β %极为敏感，特别是 β %<0.1时。因此，决策者难以设置参数数值。因OMP模型符合罗尔斯主义公平性原理，OMP模型建模与应用值得进一步探索。
对于OMP模型的局限，作者的一个改进 设想是：引入距离阈值 d *，将平均距离与劣 于阈值区位的平均距离加权聚合。对于需求 区位集合 J出行距离向量 D = d 1 , d 2 , … , d m和 需求权重 W = w 1 , w 2 , … , w m，使用目标函数 α ∑ i ∈ J w i d i + ( 1 - α ) ∑ i ∈ J w i ( d i - d * ) +。这一思路可较好地解决以上3个问题：目标函数严格满足单调性要求，“弱满足”PD转移规则，具有可用性；距离无需排序，无需引入额外变量和约束条件，与OMP相比，模型计算复杂度大幅降低；能够顾及需求差异和设施容量约束。
文献[9]证明了9个公平性指标与效率目标 能够“兼容”，但仅仅是理论分析，应用中的若干问题仍未解决，仍需进一步探索。为平衡公平指标与效率指标，且减低模型计算复杂度，本文作者进一步利用距离阈值 d *改造空间公平指标，构造目标函数 f D：
α ∑ i ∈ J w i d i + 1 - α ∑ i ∈ J w i ( d i - d * ) + q  
式中： 0 ≤ α ≤ 1。当 q = 1时，该函数等价于平均距离与劣于阈值区位的平均距离加权聚合；当 q = 2时，该函数等价于平均距离与半方差函数聚合。该目标函数可直接替换PMP目标函数，模型无需其他变化。如何确定参数 d *和 α是应用该目标函数的一个核心问题，作者建议设定 d *为平均距离 d -的估值，而 α值的设置尽可能使 α ∑ i = 1 m w i d i ≈ 1 - α ∑ i = 1 m w i ( d i - d * ) + q，均衡公平与效率指标值。当 α=0时，该函数仍不违背单调性和PD转移规则，仍具有可用性。除PMP外，改进的公平指标也可以尝试加入设施区位问题UFLP或CFLP的目标函数，相应地，如何确定参数 α是模型有效的关键因素之一。
为构建公平性区位模型，公平聚合目标函数的性质分析很重要。判断函数是否满足PD转移规则的数学分析，需要考虑到需求差异性。令区位集合 J的需求权重向量为 W = w 1 , w 2 , … , w m，区位问题可行解中，出行距离向量为 D = d 1 , d 2 , … , d m。对于任意元素 i和 j， 0 < ε < d j - d i * m i n   ( w i , w j )，若 f d 1 , d 2 , … , d n > f d 1 , d 2 , … , d i + ε / w i , … , d j - ε / w j , … , d n成立，则函数严格满足PD转移规则。目标函数(31)随任一距离 d i的增加而增加( α > 0时)或者保持不变( α = 0时)，是一个非递减函数；当 q = 1 或 2时，该函数“弱满足”PD转移规则。
本文证明 q = 2时，式(31)“弱满足”PD转移规则。令 D ' = d 1 , d 2 , … , d i + ε / w i , … , d j - ε / w j , … , d m，其中 0 < ε < d j - d i * m i n ( w i , w j )。根据 ε取值范围，不等式 d i + ε / w i < d j 和 d j - ε / w j > d i均成立。因 d i和 d j变化不影响总出行距离，判断式(31)是否满足PD转移规则的数学证明无需考虑函数前半部分，后半部分在后续证明中可以忽略权重 1 - α。
当 d i < d j ≤ d *时，因 d i + ε / w i < d j ≤ d *和 d j - ε / w j < d j ≤ d *，等式 f D ' = f D成立。
当 d * ≤ d i < d j时，f D ' - f D = w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 + w j ( d j - ε / w j - d * ) 2 - w i d i - d * 2 - w j ( d j - d * ) 2。公式展开并合并，得到 f D ' - f D = ε 2 / w i + 2 d i ε + ε 2 / w j - 2 d j ε = ε ε / w i + 2 d i + ε / w j - 2 d j = ε d i + ε / w i - d j + ε d i + ε / w j - d j < 0。
当 d i < d * < d j时，存在4种情况：
（1） d i + ε / w i ≤ d *和 d j - ε / w j ≤ d *时， f D ' - f D = - w j ( d j - d * ) 2 < 0。
（2） d i + ε / w i ≤ d *和 d j - ε / w j ≥ d *时， f D ' - f D = w j ( d j - ε / w j - d * ) 2 - w j ( d j - d * ) 2。因 0 ≤ d j - ε / w j - d * < d j - d *， f D ' - f D < 0。
（3） d i + ε / w i > d *和 d j - ε / w j < d *时：
若 w i ≥ w j，因 0 < ε < d j - d i w j， d j > ε / w j + d i > d *，不等式 ( d j - d * ) 2 > ( d i + ε / w j - d * ) 2成立。因此， f D ' - f D = w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 - w j ( d j - d * ) 2 < w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 - w j ( d i + ε / w j - d * ) 2。公式展开后，得到 f D ' - f D < ( w i - w j ) ( ( d * - d i ) 2 - ε 2 / w i w j )。因 ε / w i > d * - d i > 0和 ε / w j ≥ ε / w i > d * - d i > 0，不等式 ε 2 / w i w j > ( d * - d i ) 2成立，因此 f D ' - f D < 0。
若 w i < w j，因 0 < ε < d j - d i w i， d j> d i+ ε / w i > d *，不等式 ( d j - d * ) 2 > ( d i + ε / w i - d * ) 2成 立。因此， f D ' - f D = w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 - w j ( d j - d * ) 2 < w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 - w j d i + ε / w i - d * 2 < 0。
（4） d i + ε / w i > d *和 d j - ε / w j > d *时， f D ' - f D = w i ( d i + ε / w i - d * ) 2 + w j ( d j - ε / w j - d * ) 2 - w j ( d j - d * ) 2。公式展开后， f D ' / ε - f D / ε = w i ( d * - d i ) 2 / ε + ε / w i + ε / w j + 2 d i - 2 d j。因 0 < d * - d i < ε / w i， w i ( d * - d i ) 2 / ε < w i ( d * - d i ) ε / w i / ε = d * - d i。因此， f D ' / ε - f D / ε < ( d * + ε / w j - d j ) + ( ε / w i + d i - d j )又因 d * < d j - ε / w i和 d i + ε / w i < d j， f D ' / ε - f D / ε < 0， f D ' < f D。
以上数学推导表明： f D ' ≤ f D，即目标函数(31)“弱满足”PD转移规则。
在实际应用中，决策者也会特别注重区域内分区间或人群间公共服务的公平性。对于设施布局规划，分区间或人群间服务公平性可定义为其出行距离的差异不显著，低于某一阈值 θ。这一要求可以通过模型约束条件实现。全部人群出行平均距离记为 d -，对于特定分区或特定人群 k，相关区位集合记为 J k。对于所有人群划分或分区集合K，可增加约束条件（式(32)）保证人群间或分区间出行便捷性差异不大。
1 - θ d - ≤ ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J k w j d i j x i j / ∑ j ∈ J k w j                             ≤ 1 + θ d - ,   ∀ k ∈ K

4.2 公平聚合函数改进P中值问题

从公平性理论的角度，目标函数(31)既满足罗尔斯主义公平性原则，也满足社会学“不公平厌恶”原理。目标函数对服务出行成本较高的区位进行惩罚，距离越远惩罚越多，能有效地提升最劣区位的服务可及性，符合罗尔斯主义公平性原则。另一方面，可以将 ∑ i ∈ J w i ( d i - d * ) + q理解为不公平厌恶的度量指标，降低这一目标值，意味着降低了公众的出行不公平感知。
社会科学认为：“不公平厌恶”是人的本性之一，无论是受益者或受损者。不公平厌恶起源于社会公平偏好理论，是一种普遍存在的心理现象，指人们对于分配不公、机会不公等不公平待遇或结果的强烈不满和反感。当人们认为自己或他人受到了不公平的待遇或结果时，他们可能会感到愤怒、沮丧、失望等负面情绪，并可能会采取行动来纠正这种不公平。文献[42]给出了较新的“不公平厌恶”定义，并假设人们将最小化不公平结果作为行为决策的导向。
公共服务系统中，假设有部分人群距离设施较远，使用服务出行成本较高，从而产生不公平厌恶心理，或者妒忌心理。给定距离参数 d * ( d * > 0 )，假定区位 j人群使用服务出行距离 d j超过 d *时，会有不公平感知，或者会对使用服务出行距离小于 d *的人群产生妒忌。定义区位 j妒忌值为：
v j = 0                                             ∀ d j ≤ d * d j - d * 2                 ∀ d j > d *
所有区位的妒忌值 v j累加为 ∑ j ∈ J w j v j =   ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J , d i j ≥ d * w j d i j - d * 2 x i j。该妒忌函数仅计算出行距离大于 d *人群的距离差异平方值。因出行距离较远的需求者才有不公平感知，该指标与空间可及性指标不冲突，不会扭曲可及性指标。
将距离目标与妒忌指标(式(33))加权聚合，构造公平性目标函数，改进PMP为最小化距离与空间妒忌区位问题(MDELP)：
M i n i m i z e   α ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J w j d i j x i j + 1 - α ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J , d i j ≥ d * w j d i j - d * 2 x i j
S u b j e c t   t o :   ∑ i ∈ I x i j = 1 , ∀ j ∈ J
x i j ≤ y i , ∀ i ∈ I ,   j ∈ J
∑ i ∈ I y i = P
x i j , y i ∈ 0,1 , ∀ i ∈ I , j ∈ J
目标函数(式(34))中，权重参数 0 ≤ α ≤ 1，当 α = 1时，模型仅最小化出行距离，等价于PMP；当 α = 0时，模型仅最小化空间妒忌，记为MELP。
数学证明表明，MDELP模型具有良好的数学性质。将MDELP最优解目标值表示为 f = α μ + ( 1 - α )   γ，其中 μ为总出行距离， γ为空间妒忌值。模型最优解中， μ和 γ满足性质：① 模型参数 d *保持不变， α减小， μ增加或保持不变， γ减少或保持不变； α增加， μ减小或保持不变， γ增加或保持不变。② μ p m p ≤ μ ≤ μ m e l p, γ m e l p ≤ γ ≤ γ p m p，其中 μ p m p表示PMP模型最优解出行距离值，PMP模型最优解的空间妒忌值 γ p m p， μ m e l p为MELP最优解的出行距离值， γ m e l p为MELP最优解的的空间妒忌值。
受篇幅所限，仅给出性质①的证明。令 β = 1 / α - 1，目标函数 f = α μ + ( 1 - α ) γ等价于 f 2 = μ + β γ。
令 s 1是MDELP模型参数为 β 1和 d 1 *时的最优解， μ 1为总出行距离， γ 1表示总妒忌值；令 s 2是MDELP模型参数为 β 2和 d 2 *时的最优解， μ 2为总出行距离， γ 2表示总妒忌值。当 0 ≤ β 1 < β 2 ,   d 1 * = d 2 *时，因 μ 1 + β 1 γ 1是模型参数为 β 1和 d 1 *时的最优目标值，不等式 μ 1 + β 1 γ 1 ≤ μ 2 + β 1 γ 2成立。同样， μ 2 + β 2 γ 2是模型参数为 β 2和 d 2 *时的最优目标值，不等式 μ 2 + β 2 γ 2 ≤ μ 1 + β 2 γ 1成立。2个不等式相加得到 ( β 2 - β 1 ) γ 2 ≤ ( β 2 - β 1 ) γ 1。因 β 2 - β 1 > 0，得到 γ 2 ≤ γ 1。将 μ 1 + β 1 γ 1 ≤ μ 2 + β 1 γ 2改写为 μ 1 ≤ μ 2 - β 1 ( γ 1 - γ 2 )。因 γ 1 - γ 2 ≥ 0，得到 μ 1 ≤ μ 2。
以上推导表明：对于目标函数 f 2，模型参数 d *保持不变， β增加， μ增加或保持不变， γ减少或保持不变，反之亦成立。因 β与 α呈反比关系，模型性质①成立。
MDELP目标函数中，权重 α的取值较为重要。若权重 α数值过大（趋近于1），妒忌目标不起作用，模型趋近于PMP模型；若权重 α数值过小，模型等价于MELP。因此，权重 α数值选择的原则是：妒忌目标和距离成本目标数值接近，不会扭曲成本目标，又能增加空间公平性。
假设参数 d *等于平均距离 d -，即 d * = d -，空 间妒忌值约等于总方差的一半，即 ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J , d i j ≥ d - w j ( d i j - d - ) 2 x i j ≈ 0.5 ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J w j ( d i j - d - ) 2 x i j，则目标函数大约等于 α ∑ j ∈ J w j d - + 0.5 ( 1 - α ) ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J w j ( d i j - d - ) 2 x i j = ∑ j ∈ J w j ( α d - + 0.5 ( 1 - α ) σ 2 )，其中 σ 为距离标准差。当 α = σ 2 / ( 2 d - + σ 2 )时，目标函数（式(34)）两部分量纲一致，且数值大致相等。因此，实际应用中，可以较为准确地估计 d -和 σ，进而设置参数 d *和 α。若难以合理地估计 d -和 σ，可以先求解PMP问题，获得 d -和 σ，进而设置参数 d *和 α。

5 结论与展望

几十年来，空间公平性区位问题建模取得了显著的研究进展。本文将空间公平性区位问题建模方法归纳为3大途径：直接使用公平性指标、有序距离加权函数和构造公平聚合函数。无论哪种建模途径，均以是否能够找到“公平有效”的设施布局方案为准则。判断区位模型能否平衡公平与效率的基本依据是：公平与效率指标组合是否满足单调性、匿名性和PD转移规则。公平优化理论要求模型目标函数严格满足单调性和严格满足PD转移规则，但本文作者认为：“弱满足”单调性和 “弱满足”PD转移规则的目标函数也适用于公平区位建模。P-center、k-centrum和本文MELP模型目标函数 “弱满足”单调性和PD转移规则，α-centdian、FFLP [20]和本文MDELP模型目标函数，均严格满足单调递增，但“弱满足”PD转移规则。
空间公平性区位建模，主要存在4个方面的挑战：如何将公平性指标与效率指标聚合、如何设置公平与效率指标的权重，如何降低模型计算复杂度，以及是否能兼顾公共服务的纵向公平性。一个可行的解决方案如下。① 选择一个满足社会诉求和决策者偏好的公平性指标，在公平聚合函数基本条件指导下，改造公平性指标使其具有不公平厌恶函数特征，并与效率函数聚合。② 公平与效率指标权重的设置在于两者在数值上接近，使两者能够被均衡地优化。通过合理假设和理论推导，推荐模型参数设置方法。③ 给定距离阈值，取代平均距离或者避免距离排序，从而简化模型，降低模型计算复杂度。④ 考虑到公共服务公平性内涵丰富，区位模型要兼顾人群间公平、分区间公平，并与纵向公平性解决方案不发生冲突。以上解决方案尽可能从社会学不公平厌恶理论、罗尔斯主义公平性原理和其他公共服务公平理论的角度进行解释，使区位建模具有应用价值。同时，探索服务成本、公平与效率之间的一般规律，特别是服务成本、服务设施可及性与空间公平性之间的关系，可为公共服务设施布局规划提供基础理论和决策依据。
本文图文责任编辑： 蒋树芳 黄光玉

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